人教A版高中数学必修二第一章《三棱锥的外接球问题》河南省级优课

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视频标签：三棱锥,外接球问题

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视频课题：人教A版高中数学必修二第一章《三棱锥的外接球问题》河南省级优课

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三棱锥的外接球问题
【教材分析】本节课是在高三学生复习完《球的表面积和体积公式》的基础上展开的专题。由于高考对立体几何中球的考察，多以球内切或外接于几何体的形式出现，而三棱锥的外接球问题是一种常见题型。另外，转化思想是数学中的一种重要思想，通过本节的学习，能使学生更好地体会转化的思想方法，感受数学的精妙之处，从而丰富学生的理论体系，体会分析问题、解决问题的过程。
【教学分析】球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和三棱锥相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。
【学情分析】一部分学生只能解决正四面体的外接球问题，稍复杂一点就不会了。
【教学目标】1、知识与技能：学生能够利用直接法、构造法和寻找球心位置法解决三棱锥的外接球问题。2、过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。3、情感、态度、价值观：完善学生知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。
【重点】学会转化的思想方法。
【难点】掌握求三棱锥外接球半径的三种方法。
教学过程分析
教学内容与问题设置
设计意图知识梳理 1.球的定义
2.球的表面积和体积公式  3.求多面体外接球半径的方法  4.简单多面体外接球相关结论
问：球的表面积公式和体积公式，求多面体外接球半径的三种方法。
板书：题目以及求多面体外接球半径的三种方法

知识准备
探究提问
1、长方体或正方体的体对角线和体心与它的外接球有什么关系？
（体对角线就是它的外接球直径，体心和球心重合） 2、边长为2的正方体的外接球的表面积为多少？
（外接球的直径为322222222r，所以，表面
积为1242rS）
3、假如一个正方体的8个顶点都在同一个球的球面上，那么任意选出4个顶点，这4个顶点还在该球的球面上吗？ (在)

从学生熟悉的几何体外接球半径开始复习，为进一步复习三棱锥外接球问题做准
备



                            4、棱长为 1的正四面体的外接球的表面积为多少？
（正四面体补形为正方体，正方体边长为
2
2
，正方体外接球的半径为4
6
r，所以表面积为2342rS）
课堂探究
类型一：对棱相等的三棱锥
例1.已知四面体ABCD满足6CDAB，
2BDBCADAC，则四面体ABCD的外接球的表面积是__________.

问：解决对棱相等三棱锥外接球问题的方法是什么？你是如何解决这道题的？你的答案是什么？学生回答后，教师展示解题过程如下：
解析：设长方体的长宽高分别为zyx、、,那么
类型二：侧棱垂直底面的三棱锥
例2.已知三棱锥ABCS的所有顶点都在球O的球面上,
ABCSA平面,32SA,2BC,30BAC,求
球O的半径.

问:你是如何解决侧棱垂直底面的三棱锥问题呢？这道题你有几种方法解决呢？你的的答案是什么？学生从不同角度解决这类问题，教师补充 (至少共同探究三种方法解决这类题型)
类型三：有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥

学生回顾求三棱锥外接球半径的三种方法，思考如何用这三种方法解决五类三棱锥外接球问题

747331233164422222222
22222
RSzyxRzyxzyyxzx



                            例3.(2017年全国卷Ｉ)已知三棱锥ABCS的所有顶点都
在球O的球面上，SC是球O的直径，若
SCBSCA平面平面,ACSA,BCSB,三棱锥
ABCS的体积为9，则球O的表面积为_______.

问：有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥外接球球
心在哪里呢？
答：在公共斜边的中点
问：这道题怎么处理呢？我们一起解决一下，由球的直径
所对的圆周角为直角可以得到SAC和SBC均为直角三角形，连接OBOA,可得三组垂直关系，,SCOAOBOASCOB,,我们一起来表示三棱锥的体积
931
22131313RRRROASBCSV,可解
得3R,所以三棱锥外接球的表面积为3642RS. 教师板书解题过程
类型四：侧棱相等的三棱锥
例4.已知三棱锥ABCD中9BC,
6CDBDADACAB,则三棱锥ABCD的外接球的表面积是_____.

问：你采用了那种方法？你是如何解决的？你的答案是多少？请一位同学讲解一下解题过程. (学生板书解题过程，教师补充)
类型五：侧面垂直底面的三棱锥
例5.已知三棱锥ABCP的所有顶点都在球O的球面上，
PAB与ABC都是边长为32的正三角形，平面PAB平面ABC，求球O的体积.





问:侧面垂直底面的三棱锥外接球问题，你采用什么方法解决的？你的解题思路是什么？答案是多少？学生回答，教师补充课堂练习
1、已知在三棱锥ABCP中，侧面PAC底面ABC，BCAB,5,2PCAPBCAB,求三棱锥ABCP的外接球表面积.
2、已知CBAP,,,四点均在表面积为36的球面上，其中
PA平面ABC,30BAC,6AB,23AC,求三
棱锥ABCP的体积.
（小组讨论，请两位同学展示练习演算过程）
学生巩固所学几种三棱锥的外接球模型
课堂小结
1、五种特殊三棱锥模型
2、求三棱锥外接球的三种方法 3、体会转化的数学思想

学生一起小结本节课内容课后作业
1. 三棱锥的三条棱PCPBPA,,两两互相垂直，1PCPBPA,则其外接球的体积为_____. 2.已知三棱锥ABCD中，1BCAB,2AD,
5BD,2AC,ADBC,则三棱锥的外接球的表面积为（  ）
A．6    B.6      C.5     D.8 3.四面体PABC中2BCPA,4PCAB,3PBAC，其外接球的体积为_____.
4.平面内，边长为2的等边三角形PAC，与等腰直角三角形ABC有公共边AC, 90ABC,沿着AC把ABC折起，使3PB,三棱锥ABCP四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为____.

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