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视频课题：部编版高中新教材优质课比赛（省赛）人教版必修第一册5.1.1任意角 第一课时_池州
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人教版必修第一册5.1.1任意角 第一课时_池州
5.1.1 任意角
教学设计
1.课时教学内容
5.1.1 任意角
2.课时教学目标
（1）通过实例展示，理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、终边相同角的概念即表示；
（2）树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念，提升学生数学抽象和直观想象素养，达到水平一的要求；
（3）会判断任意角的终边在平面直角坐标系中的位置，初步拥有从“数”、“形”两方面认识数学概念的意识。
3.教学重点与难点
重点：将0°〜360°的角的概念推广到任意角；
难点：任意角概念的构建，用集合表示终边相同的角。
4.教学设计
4.1知识回顾，创设情境
问题1：在初中阶段我们是如何定义角的？
学生1回答：静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形.如：
，（角的范围一般指0°〜180°）。
学生2回答：动态定义:一个角可以看作由一条射线绕它的端点旋转而成的图形. 如：,射线的端点
称为角的顶点，射线旋转的开始位置
和终止位置
称为角的始边和终边.（角的范围一般指0°〜360°）。
设计意图：回顾角的研究扩充过程，明确交流探究的方向，从学生认知的最近发展区设计问题，利于学生自主构建知识体系。
教师：你能说说生活中的旋转现象吗？
教师利用多媒体展示东京奥运会上我国跳水运动员的转体视频，并让学生举例自己熟悉的旋转现象，如：拧瓶盖时的旋转、自行车车轮旋转等。让学生在动态的过程中体会：旋转生成角。
教师：怎样才能准确地描述这些旋转现象呢？这些例子中由旋转生成的角，方向有不同，范围也不在0º~360º内 ，这就需要对角进行推广。那该如何推广呢?
设计意图：用超过360°旋转角引起学生的认知冲突,激发学生的探究学习热情。使他们认识到要准确地表达旋转运动过程，需要同时说明旋转量和旋转方向。引导学生体会仅用0°〜360°的角已经难以回答当前的问题，进而引出学习课题：任意角（角的推广）.
4.2问题引导，探究概念
探究1:大家都知道十二生肖吧（也就是人们的属相），你能完整的说出它们吗？这些属相之间有什么关系？如何表示这种关系？
学生3：子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.
教师：很好！同学3把生肖和地支联系起来，都是古时的计时用具，相当于现在的时钟。请类比时钟的运行，找出属相间的关系。
（引导学生总结出12生肖的顺序，并类比时钟的排序方式，把12生肖按顺时针均匀排列到圆周上）
设计意图：利用属相，引导学生从身边的事物探究周期变化现象，渗透数学文化，加深学生对中华传统文化的认同，引导学生用圆表示周期变化规律，为角的推广做铺垫；在合作探究中提升学生的思维与表达、交流与反思水平，在交流讨论中发展学生的数学核心素养。
探究2：哪位同学有兄弟姐妹不和自己同岁的？
教师：如有位同学属猴, 哥哥大他3岁,大家能快速说出这位同学哥哥的属相吗？
学生4：属蛇
教师：你是怎样快速找到的？
学生4:类比时钟的运行，指针从属相猴开始转，大三岁就是把指针逆时针旋转三个属相，得到哥哥的属相蛇.
教师：很好！如果这位同学有个弟弟小他三岁，你能说出弟弟的属相吗？
学生4：属猪，因为指针从属相猴开始转，小三岁就是把指针顺时针旋转三个属相，得到弟弟的属相猪.
设计意图：角的推广中，角的正负是重、难点，也是易错点，学生经常忽视射线的旋转方向，因此这里创设了交流探究的条件,让学生体会概括顺时针和逆时针的不同。多数学生能够根据图表得到正确答案, 但不能准确表述具体的操作过程，因此需要教师加以引导，帮助提炼语言，学会用数学的思维思考问题。
探究3：大（小）3岁，用更简洁的数学符号可以怎么表示？
学生交流讨论后，概括总结：用数学符号" + 3” 表示“大3岁"，用"一3”表示“小3岁”;大3岁的生肖是把指针逆时针旋转三个属相，小3岁的生肖是把指针顺时针旋转三个属相，并引导学生旋转会生成角，这里的角“旋转三个属相”的旋转量
，但旋转方向却不同，从而得到两个“相反角”。帮助学生领悟“符号”表示“方向”的数学美！
设计意图：用符号"+3”表示“大3岁”，进而理解“符号”表示“方向”，体现数学符号语言的简洁美。同时，类比正负数，用更为简洁的正负号来表述“逆时针”和“顺时针”旋转，定义正负角后，扩充角的范围就水到渠成。在概念的形成过程中，让学生体会数形结合的思想方法，使学生知其然，还要知其所以然，并体会何由以知其所以然。
4.3交流反思，概括总结
问题3：根据前面的探究，大家能用数学语言重新定义角（任意角）吗？
反思探究的过程和结论，师生共同给出任意角的定义:一条射线绕其端点旋转形成的图形。（但已突破0°〜360°）
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角。负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫作负角。零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角。
利用多媒体呈现随着终边按不同方向的不断旋转获得的角的不断增大（减小），即角可以无限大（小）.从而将角最终推广到任意角。并借助多媒体体将角的始边位置固定在
轴正半轴上，终边位置的变化概括出象限角与轴线角。
设计意图：通过交流反思，概括出角的相关概念，体会刻画这些角时，不仅要用旋转量，还要用旋转方向，引导学生用数学语言描述问题，帮助学生体会角虽然只有大小，但角的大小对应角的终边的旋转方向和旋转量。在平面直角坐标系中固定角的始边位置，通过终边位置的变化引导学生概括出象限角与轴线角的分类，以对原有的知识体系进行重新建构。
4.4 概念深入，探究性质
探究4：在角的范围扩展到任意角后，是否有“小角减大角”这样的运算？该如何运算？
教师：以
为例，猜想运算结果
众学生：
教师：如何论证呢？引导学生减法是加法的逆运算，可设
，尝试作图检验结果.
学生5：把角α的终边旋转角β，这样旋转生成角为“
”其中旋转方向由角的正负符号决定。
教师：很好！这样便可把角的运算类比到实数的运算。体会到角虽然只有大小，但角的大小对应角的终边的旋转方向和旋转量。
设计意图：就像将数轴上的点在数轴上左右运动与实数的代数和统一起来一样，我们把角的终边的顺时针、逆时针旋转与角的加法联系起来。从而体会用符号表示方向，这一数学常用的、重要的手段。
问题5：请大家找找图中这两个角的异同点.
学生6：都是第一象限角，但角的大小不同
教师：还有吗？
学生6：两角的始边与终边都相同
教师：很好！我们能肯定它们之间一定有内在联系，是怎样的联系呢？
引导学生从具体角
出发，例举与其终边相同的角，并让学生独立尝试用集合表示出与
角终边位置相同的所有角。
设计意图：引入象限角后，出现了一条终边可以对应无数个角的情况，这时可以提出两个终边相同的角之间有什么内在联系？强化，确定同一事物两种表示之间的联系、转化，是数学的一个基本任务。
引导学生尝试用数量关系表示出与任意角
终边位置相同角的集合.
设计意图：从形到数、从具体到抽象，引导学生把“角
的终边绕原点旋转整数周后回到原来位置”用数量关系表示出来。
4.5当堂总结，课下探究
引导学生回顾本节课任意角的研究途径：背景--定义--运算--性质。并由学生交流讨论，概括当堂所学的知识（任意角、象限角、终边相同的角）与技能（分类讨论、抽象概括、数形结合及类比思想的运用等），反思个人在小组交流探究中提出和解决的问题及对问题的思维与表达，初步形成个人的反馈评价，然后找同学进行展示、交流、补充。并留出思考题（当角的终边在某个区域内(如：第一象限内)时，其构成的集合如何表示呢？）和布置作业：课本175页练习4，5.
设计意图：查漏补缺，帮助学生进行知识建构；了解学生的素养水平，为下一步的教学设计提供依据；通过对情境问题的进一步探究，思考实数与角的一一对应，为弧度制的引入做好铺垫.并通过作业习题巩固概念，使学生知识技能、综合能力得到提升.
5. 目标检测设计
题1：写出终边在射线
上的角的集合
，
中满足不等式
的元素
有哪些？
题2：写出终边在直线
上的角的集合
，
中满足不等式
的元素
有哪些？
（设计意图：帮助学生巩固终边相同的角的表示）
题3：当角的终边在某个区域内(如：第一象限内)时，其构成的集合
该如何表示呢？
（设计意图：将第一象限角的表示作为课后思考作业留给学生，让学生类比出用不等式表示出区域角的集合表达.提升学生的逻辑推理和数学运算素养)
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
