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视频简介:

高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率-合肥

视频标签:倾斜角与斜率

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视频课题:高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率-合肥

教学设计、课堂实录及教案:高中数学人教A版必修二3.1.1倾斜角与斜率-合肥市第一中学

教学目标
一.知识与技能
1.正确理解直线倾斜角和斜率的概念,
2.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.
二.过程与方法
    引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题,进而转化为倾斜角的正切值即斜率问题(代数问题)进行解决,使学生不断体会“数形结合”的思想方法.
三.情感、态度与价值观
    通过引入直线倾斜角的概念,揭示学习直线倾斜角与斜率的关系,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生理解数形结合思想的重要性,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生的严谨的科学态度和求简的数学精神.
2学情分析
作为教学对象的学生是学习主体,为了突出学生的主体的地位,教师须全面研究学生,理解学生。
①认识结构
经过半年多时间的学习,学生对数学概念及思维方法的认识水平有了较大提高.但不同层次的学生之间仍存在着较大的差距,尤其表现在对知识的探究、联想、迁移能力上在新课中,运用了生活中的实例,多媒体动画效果,引导学生思维的“上路”,让学生主动参与探究过程;
②情感结构
 随着年龄的增大,阅历的丰富,高中学生自主意识的增强,有独立思考问题、发现问题的能力在学生的探索活动中,主动通过设疑、质疑、提示等启发示手段,帮助他们分析问题,激发学生的学习的兴趣.
3重点难点
教学重点:直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式;
教学难点:斜率公式的推导.
 
4教学过程
4.1直线的倾斜角与斜率
4.1.1教学活动
活动1【讲授】直线的倾斜角与斜率
情景引入:
    同学们,今天我们学习直线的倾斜角与斜率。明天是周六,我想带小朋友去游乐场玩,小朋友非常喜欢滑滑梯,现在有三种滑梯,大家觉得哪一个更适合小朋友呢? 初中我们学习过,两点确定一条直线,这些直线可以看做过一定点的一系列直线,过点P可以做多少条直线呢?过点P作无数条直线 ,  ,  ……他们的区别在哪里呢?
 
一 直线的倾斜角
定义:在平面直角坐标系中,当直线 与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线 向上方向之间所成的角 就叫做直线 的倾斜角。
师:请大家在草稿纸上画直角坐标系以及直线,并判断倾斜角在什么范围内
生:锐角,直角,钝角
规定:当直线l与x轴平行或重合时,α=0°
问:直线的倾斜角在什么范围内呢?链接几何画板
生:  0°≤α<180°
师:在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角   
  倾斜程度相同的直线,倾斜角相等  倾斜程度不相同的直线,倾斜角不相等
  可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度
  日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?比如说爬山,爬坡
生:坡度!
师:坡度指的是升高量与前进量的比,以大象滑梯和极限滑梯为例,升高量与前进量的比值不同,显然直线的倾斜程度不一样。
 
师:升高量与前进量之比实际上就是“倾斜角α的正切”
 
二 直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用 表示,即:
 
 
 
师:同学们在高一阶段已经学习了正切函数,现在请同学们在草稿纸上画出正切函数图像
    请一位同学在黑板上画出图像。链接几何画板并在黑板上画出倾斜角范围内的正切图像。
注:倾斜角是90°的直线没有斜率
 
师:倾斜角不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。
1
不存在
 
师:判断下列命题是否正确:
因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有斜率.  (× )
‚直线的斜率为tanβ,则它的倾斜角为β.          (× )链接几何画板
 
师:直线的倾斜角与斜率的概念大家已经学习,我们知道,两点可以确定一条直线,直线确定了,倾斜角就确定了,如何把两点坐标与斜率之间建立联系呢?
三 由直线上两点的坐标计算直线的斜率
已知直线上两点:  如何求斜率k?
1.当α为锐角时
 
2.当α为钝角时   请两位同学在黑板上板演,参考锐角范围内的探究方法(不规定 在直线上的位置,两位同学在黑板上所标点的位置不同,正好说明公式与点的位置无关)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
经过 两点的直线的斜率公式:
 
 
 
 
问:当 时,上述公式还适用吗?
当 当,分式的分母为0, 不存在,公式不适用。
此时直线 与 轴垂直,与直线的倾斜角为90°的直线没有斜率一致,所以说数学是严密的。
 
当直线 与 轴平行或重合时,即 , =0
 
 
 
活动2【练习】直线的倾斜角与斜率
四、例题讲解:
例1已知A(3,2), B(-4,1),C(0,-1),
 (1)求直线AB、BC、CA的斜率,  
 (2)判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角?
 
 
 
 
 
变式1:已知P(n,5),求直线AP的斜率
 
 
 
 
 
变式2:画出经过C点且斜率分别为:-1, ,2的直线  ,  ,
 
 
活动3【活动】直线的倾斜角与斜率
思考
(1)已知直线 倾斜角α在(Π6  ,2Π3  ​) 范围内,求直线l 斜率的取值范围?
(2)若直线的斜率在 [-1,1]范围内,求直线倾斜角的取值范围?
活动4【作业】直线的倾斜角与斜率
作业:
      习题3.1 A组2,3题
补充:1已知直线 的倾斜角为α,sinα =45  ​ ,求此直线的斜率
 2 已知A(a,2),  B(3,-1),当AB倾斜角为钝角时,求a的范围

3.1.1 直线的倾斜角和斜率 
合肥一中数学组  姚微微 
教学目标: 
一.知识与技能 
1.正确理解直线倾斜角和斜率的概念, 2.理解直线倾斜角的唯一性, 3.理解直线斜率的存在性, 
4.斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 二.过程与方法 
    引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题,进而转化为倾斜角的正切值即斜率问题(代数问题)进行解决,使学生不断体会“数形结合”的思想方法. 三.情感、态度与价值观 
    通过引入直线倾斜角的概念,揭示学习直线倾斜角与斜率的关系,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生理解数形结合思想的重要性,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生的严谨的科学态度和求简的数学精神. 
教学重点:直线倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线的斜率公式; 教学难点:斜率公式的推导; 
教学方式:启发式教学、分小组讨论式教学 教学手段:多媒体应用 课型:新授课 课时:1课时  
师:同学们,今天我们学习直线的倾斜角与斜率。 
师:明天是周六,我想带小朋友去游乐场玩,小朋友非常喜欢滑滑梯,     现在有三种滑梯,大家觉得哪一个更适合小朋友呢?   生:第三个 师:为什么呢?                                       生:刺激! 
师:为什么第三个比较刺激呢?                         生:因为它的滑梯比较长 师:还有呢?                                         生:滑梯的倾斜程度不一样 师:非常好,倾斜程度不一样,大家能否把滑梯抽象成为数学图形?                  生:可以,直线 
师:通常情况下,我们把直线放在平面直角坐标系中来研究 
 
 
初中我们学习过,两点确定一条直线, 
师:这些直线可以看做过一定点的一系列直线, 过点P可以做多少条直线呢? 
过点P作无数条直线 1l, 2l ,3l ……他们的区别在哪里呢? 生:倾斜程度不一样 
师:怎样描述直线的倾斜程度呢?能不能用角来描述? 生:可以用直线与x轴形成的角来描述  
师:直线与x轴形成的四个角都可以表示倾斜程度,通常情况下用图中所示的角来描述。 师:如何表示这个角呢? 
生:直线在x轴上的部分与x轴之间所成的角, 师:大体意思明白,但不够准确。 
一. 直线的倾斜角 
定义:在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α就叫做直线l的倾斜角。 
师:请大家在草稿纸上画直角坐标系以及直线,并判断倾斜角在什么范围内 生:锐角,直角,钝角 
规定:当直线l与x轴平行或重合时,α=0° 
问:直线的倾斜角在什么范围内呢?链接几何画板 生:  0°≤α<180° 
师:在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角    
  倾斜程度相同的直线,倾斜角相等  倾斜程度不相同的直线,倾斜角不相等   可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度 
  日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?比如说爬山,爬坡 生:坡度! 
师:坡度指的是升高量与前进量的比,以大象滑梯和极限滑梯为例,升高量与前进量的比值不同,显然直线的倾斜程度不一样。  
 
师:升高量与前进量之比实际上就是“倾斜角α的正切” 二. 直线的斜率 
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 斜率通常用k表示,即:  
 
   师:同学们在高一阶段已经学习了正切函数,现在请同学们在草稿纸上画出正切函数图像     请一位同学在黑板上画出图像。链接几何画板并在黑板上画出倾斜角范围内的正切图像。 注:倾斜角是90°的直线没有斜率  
师:倾斜角不是90°的直线都有斜率,倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。 
 
师:判断下列命题是否正确: 
因为所有直线都有倾斜角,所以所有直线都有斜率.  (× ) 
直线的斜率为tanβ,则它的倾斜角为β.          (× )链接几何画板  
师:直线的倾斜角与斜率的概念大家已经学习,我们知道,两点可以确定一条直线,直线确定了,倾斜角就确定了,如何把两点坐标与斜率之间建立联系呢? 
三. 由直线上两点的坐标计算直线的斜率 
已知直线上两点:)(),,(),,(2122211
1xxyxPyxP≠ 如何求斜率
k? 
1.当α为锐角时 
 
 
α 
30 45 60 90 120 150 

3
3 1 3 不存在 3- 3
3-
 x
xyyk1212--αtan==1
21||xxPP122||yyPP||||tan1
2PPPPk)90≠α(αtan=k 
                    
             
                    
                            2.当α为钝角时   请两位同学在黑板上板演,参考锐角范围内的探究方法(不规定21,PP在直线上的位置,两位同学在黑板上所标点的位置不同,正好说明公式与点的位置无关)           
经过)(),,(),,(2122211
1xxyxPyxP≠两点的直线的斜率公式: 
    
问:当21xx=时,上述公式还适用吗? 
当21xx=当,分式的分母为0,k不存在,公式不适用。 此时直线l与x轴垂直,与直线的倾斜角为90°的直线没有斜率一致,所以说数学是严密的。  
当直线l与x轴平行或重合时,即21yy=,k=0 
  
四、例题讲解: 
例1已知A(3,2), B(-4,1),C(0,-1),  (1)求直线AB、BC、CA的斜率,   
 (2)判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角?    
  变式1:已知P(n,5),求直线AP的斜率    
变式2:画出经过C点且斜率分别为:-1,3,2的直线 1l, 2l ,3l  
 
1
212--xxyyk=)
(21xx1Px
0
y
2P
 
                    
             
                    
                            思考 
(1)已知直线l倾斜角α在),(3
26范围内,求直线l斜率的取值范围? (2)若直线的斜率在11-,范围内,求直线倾斜角的取值范围?  
五、小结: 
 
师:数缺形时少直觉,形少数时难入微 
师:还要记得提醒身边的小朋友坐合适的滑滑梯哦! 
 
六、作业: 
      习题3.1 A组2,3题 
补充:1已知直线l的倾斜角为α, 5
4
αsin=,求此直线的斜率 
 2 已知A(a,2),  B(3,-1),当AB倾斜角为钝角时,求a的范围
 

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