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视频标签：数乘向量
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视频课题：北师大必修四第二章第三节3.1《数乘向量》广西省优课
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北师大必修四第二章第三节3.1《数乘向量》广西省优课
数乘向量
【教学目标】
1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律． 2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．
【教学重点】
数乘向量运算及运算律．
【教学难点】
对数乘向量定义的理解．
【教学方法】
这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．
【教学过程】 环节
教学内容
师生互动 设计意图
导 入
1．复习上一节课所学的内容 （1）向量的有关概念
a.向量的定义 b.向量的模 c.相等向量
d.共线向量
（2）向量的加减法运算 2.已知非零向量 a，求作： (1) a＋a＋a； (2) (－a)＋(－a)＋(－a)．
请观察3a 与－3a是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化．
3．已知→
AB，把线段AB 三等分，分点为P，Q，则→
AP， →AQ，→BP与→
AB的关系如何？ 教师提问，学生回
忆
教师提出问题，引入课题．
学生观察解答．
通过回忆旧知
识，为新知做准备
在向量加法的
基础上引入数乘向量的定义，符合学生
认知规律，有利于概
念的同化．
新 课
1．数乘向量的定义
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作 λa．
向量 λa ( a≠0，λ≠0)的长度与方向规定为：
(1) | λa |＝| λ | | a |；
(2) 当λ＞0时，λa 与 a 的方向相同；当λ＜ 0 时，λa 与 a 的方向相反．
当 λ＝0 时，0a＝0；当 a＝0 时，λ0＝0．
教师由具体例子引
导学生得到数乘向量的定义．
培养学生由特殊到一般的归纳总结能力．
紧扣向量的两
－a
－a －a
a a
a
a
A
P Q B
新 课
2．数乘向量的几何意义
把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向，长度放大或缩小．
如2a 的几何意义就是沿着向量 a 的方向，长度放大到原来的 2 倍．
练习一
任作向量 a，再作出向量－3a，12a，－1
3a，并
说出它们的几何意义．
3．数乘向量运算的运算律 设 λ，μR，有： (1) (λ＋μ)a＝λa＋μa； (2) λ(μa)＝(λμ)a； (3) λ(a＋b)＝λa＋λb． 请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？
例1 计算下列各式： （1）(－2) 1
2
a；
（2）2(a＋b)－3(a－b)；
（3）(+)(a－b)－(－)(a+b) ． 解 （1）(－2) 12 a＝(－2 1
2) a＝－a；
（2）2 (a＋b)－3 (a－b)
＝2 a－3 a＋2 b＋3 b ＝(2－3) a＋(2＋3) b ＝－a＋5 b．
（3）(＋)(a－b)－(－)(a＋b)
＝(＋)a－(＋)b－(－)a－(－)b ＝(＋－＋)a－(＋＋－)b ＝2a－2b．
练习二 化简：
（1）2(a－b)＋3(a＋b)； (2) 12(a＋b)＋1
2(a－b)．
例2 设x是未知向量，解方程
5 (x＋a)＋3 (x－b)＝0．
师生合作完成．
教师提出问题． 学生观察解答．
师生合作完成．
学生练习巩固． 教师引导学生完
成．
要素分析定义，便于理解数乘向量的几何意义．
类比学习．
有实数运算法则做基础，学生解决这部分题目很容易，提醒学生向量上加箭头．
新 课
解 原式可变形为
5x＋5a＋3x－3b＝0， 8 x＝－5a＋3b， x＝－58a＋3
8b．
练习三
解关于x的方程： (1) 3(a＋x)＝x； (2) x＋2(a＋x)＝0．
例3 已知→OA＝3→OA，→AB＝3→
AB，说明向量→OB与→
OB的关系．
解 因为
→OB＝→OA＋→AB＝3→OA＋3→AB ＝3(→OA＋→AB)＝3→OB．
所以→OB与→OB共线且同方向，长度是→OB的3倍.
4. 向量共线定理
对于向量
b,aa0，以及实数
问题（1）如果ab，那么b与a是否共线？ 问题（2）如果a//b，那么是否存在实数，使得ab？
学生练习巩固．
教师给出问题并引导学生解答．
学生根据向量加
法的三角形法则及数
乘向量定义完成解答．
教师给出问题并
引导学生解答． 学生根据向量数
乘向量的几何意义来完成解答．
由本例引入平
行向量定理，由特殊到一般，便于学生接受．
通过提出问题，学
生思考问题，达到
学生自主探究新知的目的。
小 结
1．数乘向量的定义及其几何意义． 2．数乘向量运算律． 3. 向量共线定理
师生合作．
梳理总结也可针对学生薄弱或易错处进行强调和总结．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
