北师大版必修四高二4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义_陕西省优课

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视频课题：北师大版必修四高二4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义_陕西省优课

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北师大版必修四高二4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义_陕西省优课

一、教学目标 1. 知识与技能目标
（1）掌握任意角的正弦函数、余弦函数的单位圆定义与终边义。
（2）理解三角函数siny,cosy。
（3）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用。 2. 过程与方法目标
（1）通过从锐角三角形过渡为任意角的过程培养学生对知识的迁移以及合理猜想的
能力。
（2）培养学生分析、自主探索的能力以及数形结合的思想。 3、情感、态度、价值观
   在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神，提高学生分析、解决问题的能力。二、教学重难点
重点：任意角三角函数的单位圆定义与终边定义。难点：由锐角三角函数推广到任意角的三角函数。重难点突破：先由学生们熟悉的锐角放在直角三角形中定义的方法引入在直角坐标系中
依然构造出直角三角形有2
2
siny
xy
，2
2
cosy
xx
，简化式子令
122yx，引导同学们得出选取终边与单位圆的交点并用该点表示角的三角函数值，
引导同学们猜测对于任意角，与单位圆交于),(vuP有sinv，cosu在单位圆定义的基础上利用三角形的相似性得出终边的定义。三、教学方法与教学手段
启发式教学法、讨论法、合理猜测及多媒体与传统教学相结合的方法。
四、教学方法
（一）问题引入
问1：关于三角函数大家不陌生初中我们就接触过锐角的正弦函数、余弦函数大家回忆一下它是怎么定义的？借助了什么几何图形？
    斜边
临边
斜边
对边


cbAcaAcossin
问2：我们学习了角的概念的推广，通过推广使角动了起来，同时把角的范围突破了
3600---的界限，它可以是任意的角。那么

4cos4sin，  的值，是否可以
在直角三角形中定义？
（学生回答不可以，产生认知冲突）引出课题：任意角的正弦函数、余弦函数的定义（二）探索新知
问3：在学习角的概念推广是把角放在哪个平台进行研究?（学生答放在直角坐标系）
C
BA
a
b
c




                            从最熟悉的锐角开始研究，把锐角放在直角坐标系中研究如图，使角的顶点放在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合。

   引导学生构造出包含角A在内的直角三角形（学生提出自己的想法）在终边上任取一个不同于原点的点yxp,过点p作x轴的垂线交x轴与M
                           yxp,                 2
2
sinyxyOPPMA

                                                   2
2
cosy
xxOP
OM
A

问4：在终边上取得的点不同三角函数值是否也不同？（学生小组讨论）
                                           OP
OM
OQOFOPPMOGQFOQFOPMOQ
OF
AOGQFA

,~cos,sin
教师引导学生得出结论终边上点的位置不影响角的三角函数值，并引导学生探索选取怎样的点可以使式子尽可能的简单   可以令2
2sinyxyOP
PM
A
2
2cosyxxOP
OM
A
中的分母为1，即12
2yx。
这是一个圆心在原点，半径为1的圆.称为单位圆。即所选取的点为角的终边与单位圆的交点
（三）类比推理定义锐角
xOMOP
OMAy
PMOP
PM
A
cos
sin


A A M A P
Q
M F

x
y
O

y
x,



                            对于其他的角
                                            无法构造出包含角a在内的直角三角形，
所以以点为突破口，猜想有

sinvcosu

带领学生思考猜想的合理性：只要角确定了终边与单位圆的交点就唯一确定，点的横、纵坐标就唯一确定，符合函数定义且和初中的定义不产生冲突，猜想合理。正余弦函数的单位圆定义
                                            在直角坐标系中，作以坐标原点为圆心的
单位圆对于任意的角a，使a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，
终边与单位圆交于唯一的点vup.把点
的纵坐标 v 定义为a的正弦函数，记为
                                            avsin，把点的横坐标u定义为a的余
弦函数，记为aucos。

（四）深化定义
正弦函数avsin  定义域R,值域1,1，- 余弦函数aucos  定义域R,值域1,1，-
前面接触的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数都是xfy型正弦函数xysin 定义域R,值域1,1，- 余弦函数xycos 定义域R,值域1,1，- （五）例题讲解例一：已知4


a，则aacos,sin的值？

                                分析只要求出点p的坐标，利用直角三角形的勾股
定理，以及点的位置


22,22p
x

y

O

vu,

x

y

O

vu,

x

y

O




                            22sin
a。2
2cosa 例二：已知任一角 a 终边上任一点 yxQ, ，求角 a的正弦函数值，余弦函数值。

由前面单位圆定义分析得到，至于求得与单位圆的交点坐标即可
OQQNOPPM2
21
sinyxy，
2
2sinyxy
22cosyxx

推广出终边定义2
2yxr令  r
y
yxya
2
2sin
r
xyxxa
2
2cos （六）学生练习
1.已知角a 终边与单位圆的交点


2321，求 a  的正弦值与余弦值。
2.已知角 a  终边上一点Q

22,22，- 求 a 的正弦值与余弦值
3.已知角a 终边上一点Q4,3- 求a的正弦值与余弦值 4.已知a的终边在 xy2 上，求角的正余弦函数值（七）小结


x

y

O

yx
, Q  P

sin,cos N M



                            1.正余弦函数单位圆的定义
2.正余弦函数单位圆定义的推广——终边定义 3.角的三角函数值在各个象限的正负 4求角的三角函数值的习题
    已知角终边与单位圆的交点
    已知角终边上一点---------点为单位圆上的点    已知角终边上一点----------点不是单位圆上的点    已知角的终边在一条直线上（七）作业布置   P24  3.5.6

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