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视频课题：高中数学沪教课标版高一上册第2章不等式2.4基本不等式及其应用_宁夏 - 银川
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高中数学沪教课标版高一上册第2章不等式2.4 基本不等式及其应用_宁夏 - 银川
《 基本不等式 》
一、学习重点：
（1）理解基本不等式，从不同角度探索其证明过程，体会其结构模型。 （2）学会用基本不等式来解决问题，体会其工具性。 二、学习目标：
理解两个不等式的结构特征及其几何解释、适用条件，能合理选择公式并正确地运用公式解决有关问题。 三、学习难点：
（1）如何利用基本不等式的模型求解函数最值。 （2）类比两个不等式的学习过程，学会研究不等式模型。 四、教学策略设计
以下是本节课的结构安排：
五、教学过程设计 1.引入重要不等式: （1）几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，
例题示范到解决实例
布置作业
课时小结归纳整理
重要不等式证明 基本不等式证明
教材赵爽弦图引入
基本不等式几何意义
由几何题目到基本不等式 留下伏笔
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代表中国人民热情好客。
提问：你能画出赵爽的弦图吗？能用这个图形证明勾股定理吗？图中有哪些不等关系？
设计意图：
教材中重要不等式的几何背景引入，面对第24界国际数学家大会的会标，如何使学生从图案中找出一些相等或不等关系？这一探究过程会出现一个思维的障碍点或盲点，就是向哪个方向上寻找“相等和不等关系”。如果由画出赵爽的弦图到用这个图形证明勾股定理，再去找图中有哪些不等关系,分解提问，用一些小问题链突破难点，也能发现得到重要不等式的代数形式。我国古代的数学家赵爽是历史上最早用弦图证明勾股定理，根据面积相等，通过计算证明勾股定理的。弦图构图巧妙、精致，既强调逻辑推理，又注重几何直观，是数与形的完美统一。勾股定理有着“千古第一定理”之称。今天，我们用数学欣赏的眼光再次审视勾股定理，会感到别有一番风味。
（2） 重要不等式代数形式：
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ab
babababaabbabaabbaa2,0b-a, ,
0b-a,,0b-a, 2:)
"",( 2R,b, 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
即所以时当时当因为证明号取时当且仅当那么如果提问：重要不等式可以解决什么问题?
首先从弦图中可以看出，随着直角三角形直角边的变化四个直角三角形面积和在变大,当直角三角形变为腰直角三角形时，和面积取到了最大值。那么仅从不等式看，当2ab为定值时，a2+b2 取到最小值，当a2+b2为定值时，2ab 取到最大值。 设计意图：
借助几何画板做出直观的变化与不变的图形及数量关系，直观的反映面积变化到隐含的数值关系，发现用重要不等式可以求解最值问题。 2.讲解基本不等式:
（1）引入基本不等式：
引例 先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两对三角形拼接成两个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余的部分折叠），这两个正方形的面积分别为a和b，考察图中两个直角三角形的面积和矩形面积你能发现一个不等式吗？ 有：直角边长分别为a和b,矩形面积为ab
2
为
两个直角三角形面积和ba
显然，两个直角三角形面积和不小于矩形的面积
因此：2
ab
ab
设计意图：
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教材中基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”，不便联想和观察。我增加一个例子，先将两张正方形纸片分别沿它们的对角线剪成两对等腰直角三角形，再用这两对三角形拼接成两个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余的部分折叠），这两个正方形的面积分别为a和b，考察图中两个正方形的面积和矩形面积的不等式关系，进而在探究“半径不小于半弦”。
法二：仍然回到赵爽的弦图，作为基本不等式的切入点，
当直角三角形直角边为a和b时，不难得到不等式abba2，此时变量范围由全体实数变为正实数。其次从代数角度也可以得到基本不等式。
得到abba2
评述： （1）如果把
2
b
a看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。
（2）在数学中，我们称2
b
a为正数a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数。
本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 提问：你能类比重要不等式来学习基本不等式吗？
ab
ba222
ab
ba2
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从三个方面探究：代数证明（作差法）、 几何解释（弦图）、 解决问题（最值问题）
（2）基本不等式的证明：
从不等式的性质推导基本不等式2
ab
ab 设计意图：
运用分析法证明基本不等式，证明的格式及为什么可以这样证明，是学生思维的障碍点。一是学生不会发现其中隐含的道理，二是学生照此模仿往往会出错。其原因是学生不能弄清楚这里推理的根据，但这里要说清楚全部的根据，就要涉及到许多内容，如：推理的可逆性问题，命题的唯一性问题，什么情况下才能够运用此法等等。因此我提出仍然可以用作差法，也不妨用新的方法，引导学生从数学结构的变化上去处理，观察题目的结论，找出可以支撑其成立的条件，如“两边同时乘以某个式子，两边同时平方”等，给学生指明探索方向，在不等式的数学语言表达上和证明上进行引导，不必要求用标准的格式和语言表达。 用分析法证明： 要证
2
ab
ab ① 只要证 a+b ② 要证②，只要证 a+b- 0 ③ 要证③，只要证 （ - ）20 ④ 显然，④是成立的。当且仅当a=b时，④中的等号成立
（3）理解基本不等式2
ab
ab的几何意义 探究：课本第98页的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
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AC=a,BC=b。过C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 你能利用这个图形得出基本不等式2
ab
ab
的几何解释吗？ 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD 2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ab.这个圆的半径为2
b
a，显然，它大于或等于CD， 即
abb
a2
，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立。因此：基本不等式2
ab
ab几何意义是“半径不小于半弦”
用几何画板做出两个变化半径及半弦的动圆
设计意图：
教材中基本不等式几何意义是在同一半圆中，半径不小于半弦，对基本不等式还可以有很多种不同的几何解释，或者认为是：直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。但不管取哪一种意义，关键是要求学生理解其意义，在教学中可以鼓励学生去发现各种不同的几何解释。我曾经苦苦思考如何让学生自然而然地从基本不等式的代数证明过渡到几何解释，但后来领悟到巧妙的几何证明更多的意图不在于此，而是要让学生从图中体会几何意义，问题的重点是通过几何图形进一步认识基本不等式。在此，我用几何画板做出两个变化半径及半弦的动圆，从中体会基本不等式的模型应用。 3.模式分析，应用公式:
提问：比较重要不等式与基本不等式异同点,说说它们能解决什么问题?
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例1（1）用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少? 设计意图：
在解决题目时，能灵活用不等式模型不是件容易的事，因为首先要明白基本不等式的用途，其次在以往求函数值域时大多是从函数图象入手的，几乎没有借助其他模型的方法，所以在例题选讲时要做到更透彻地理解模型。选择恰当的例题是数学教学基本策略之一。例1既是生活中经常遇到的数学问题也是直接反应基本不等式本质两个正数和一定，积取最大值，积一定，和取最小值。 4.归纳小结:
提问:你是怎样获得基本不等式的?它能解决什么问题?用它怎样解决问题? 知识要点：
（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征 （2）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义
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思想方法技巧：数形结合、比较法、分析法整体与局部的思想。 品数学之美： 感受我们积累了知识，于枯燥之中见奇妙，于迷茫之中得豁朗。懂得灵活运用公式乐在成功之中，就能领略到公式平静的美。 5.布置作业：
A.研读课文、整理笔记 B.课后练习P100 1—4
C.在基本不等式的推导过程中，数与形的结合开拓了我们的研究思路，你能结合基本不等式的学习谈谈对数形结合的思想的认识吗？ 设计意图：
本环节首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了作业A和B，目的是让学生继续熟悉，巩固基本不等式的结构模型及应用条件为后继学习打好基础。同时为了能让不同层次的学生在得到深入发展，又安排了作业C供学有余力得学生选作。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
