数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幂》第1课时_

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数学必修1第四章第 4.1节《n次方根与分数指数幂》第1课时_

4.1.1次方根与分数指数幂
教材分析
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幂》第1课时，从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延申。本节课以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到分数，体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定了基础。
教学目标与核心素养
课程目标：

理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；
理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理数指数幂的运算性质；
培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养.

核心素养

数学抽象：根式的概念；
逻辑推理：根式与分数指数幂的互化；
数学运算：根式的化简；
直观想象：指数幂的运算法则；
数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数指数幂的范围.

教学重难点
重点：根式的概念、分数指数幂的概念；
难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质；
课前准备：多媒体

教学过程

教学设计意图，核心素养目标

章引言学习：带领同学们观看图片和视频，感受良渚遗址的壮观画面，同时提出问题，如何测量遗址的年代？
一、什么是n次方根
温故知新
1.整数指数幂：
正整数

负整数

2.整数指数幂的运算性质：
同底幂运算：

幂的乘方：

积的乘方：

复习引入：
1.幂函数：
如果一个正方形的面积是

，那么这个正方形的边长

也可以表示为

即

=

.
思考：如果

那么

叫做

的平方根.
如果

立方根.
如：

，

一般化

2.探究新知
定义：如果

，那么

次方根，其中

，

当

为奇数时，正数的

次方根是一个正数，负数的

次方根是一个负数.
此时

的

次方根用符号

表示.
简单改写，你会了吗？
如：

=2，

思考：

为偶数呢？
看如下例子：

，

当

为偶数时，正数的

次方根有两个，这两个数互为相反数，分别为正的

次方根和负的

次方根.
可以表示为

归纳总结：

，若为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数，分别为正的次方根和负的次方根.
负数没有偶次方根.

（3） 0的任何次方根都是0，记作：

二、什么是根式
探究新知
定义：式子

叫做根式，其中

叫做根指数，

叫做被开方数.

次根式的性质：

如：

探究：

一定成立吗？
化简下列各式：

，

次根式的性质：当

为奇数时，

；
当

为偶数时，

巩固提升
例1 求下列各式的值.
(1)

(2)

(3)

(4)

探究新知

根据

次方根的定义和运算，我们知道：

，

.

当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
探究：当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
一般地：数学中引进一个新的概念或法则时，总希望它能与原有
的概念或法则是相容的.

,

.
我们希望整数指数幂的运算性质，如：

，对分数指数幂仍然适用.

三、什么是分数指数幂
定义：我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：

那么，正数的负分数指数幂的意义是：

我们规定，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义.

运算性质：

巩固提升
例2 求值
(1)

(2)

例3 用分数指数幂的形式表示下列各式(其中

>0)
(1)

(2)

巩固练习
同学们完成课本107页练习第2题：
用分数指数幂的形式表示并计算下列各式：
（1）

（2）

(

);
（3）

（4）

小结
内容小结
1.什么是n次方根？
2.n次方根的运算性质；
3.什么是根式；
4.什么是分数指数幂？
5.分数指数幂的运算性质。
课堂小结
1.理解分数指数幂的概念和运算性质；
2.经历了从整数指数幂到分数指数幂的拓展过程，感受数学的发展和其应用价值；
3.提升数学抽象和逻辑推理的学科素养；
4.同学们在学习中学会了与同伴一起探究数学、分享数学，享受学习数学的快乐.

作业布置
课本107页，练习第1题
109页，习题4.1第1、4题

教学反思
本节课重在通过特殊的例子得到一般的规律，通过对整数指数幂的回顾，推导出分数指数幂，并解释了分数指数幂定义的合理性；通过学习同学们能快速掌握根式与分数指数幂的互化，提升了同学们的逻辑推理、分类讨论、数学运算的核心素养。

激发同学们的学习兴趣，明确本章研究内容、目的、实际应用背景，为本章的学习指明方向，让同学们学习了古文化知识，提升了学生的民族自豪感；

通过温故知新，帮助学生回忆了初中学习的整数指数幂及运算性质，为后面学习分数指数幂的拓展奠定了基础；

帮助学生回忆了开平方和开立方概念，并在此基础上，让同学们正确理解根式的概念，培养和发展了同学们数学抽象和数学运算的核心素养；

合作探究：
探究1.仿照开平方和开立方，提出开n次方根的概念。发展同学们数学推理能力；

探究2.通过具体的特殊的例子，对n的奇偶性进行分类讨论，发展同学们由特殊到一般的数学核心素养；

探究3.通过具体根式的化简，培养同学们分类讨论思想，发展同学们数学抽象和数学运算的核心素养；

通过特殊问题的分析，让同学们观察分析，归纳根式与分数指数幂的互化。感受由特殊到一般的思想方法，发展逻辑推理能力；

通过练习巩固本节所学知识，提高解决根式的化简及根式与分数指数幂的互化能力，增强学生的数学抽象和数学直观和数学运算的素养。

同学们根据课堂学习，自主总结知识要点及运用的思想方法，注意总结自己在学习中的易错点。

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