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视频标签：函数模型的应用
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视频课题：人教A版数学必修1第四章4.5.3函数模型的应用（第1课时）
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人教 A 版数学必修1第四章4.5.3函数模型的应用（第1课时）
4.5.3函数模型的应用（第1课时）
一、内容与内容解析
1.内容
教科书例3和例4，用已知的函数模型刻画实际问题．
2.内容解析
函数的实际应用有两个层次，一是用已知的函数模型刻画实际问题，二是根据问题的条件建立函数模型解决问题.本节课主要通过两道例题的研究让学生经历用已知的指数型函数模型刻画实际问题的基本过程．
函数是描述客观世界变化规律的数学语言和工具，利用函数模型刻画实际问题蕴含着数学建模思想.现实中的某一类变化可以用指数型函数模型刻画，为了解决实际问题的需要，需要根据具体得到的数据确定函数模型中的参数，这实质上是一个利用待定系数法求函数解析式的过程，体现了函数与方程的思想.
本节课所学内容是在学习了指数函数和对数函数的图象和性质基础上解决实际问题，是指数函数和对数函数在实际中的应用.通过本节课的学习，不但让学生体会到指数函数和对数函数在刻画现实世界中的作用，而且使学生对研究函数的基本套路：“背景—概念—图象和性质—应用”有了整体的认识.
用函数模型刻画实际问题，可以使学生体会函数在描述客观世界中变量关系和规律的作用，丰富对数学的认识，激发应用数学的意识，感受数学的应用价值，提升数学抽象和数学建模核心素养．
教学重点：根据条件确定已知函数模型的参数并利用函数模型解决实际问题.
二、目标与目标解析
1．目标
（1）能根据条件通过待定系数法求出给定函数模型的参数，培养函数与方程思想.
（2）会利用已知函数模型解释实际问题并对现实世界进行预测和推断，发展数学抽象和数学建模素养，提高分析问题和解决问题能力.
（3）明确函数是刻画客观世界中变量关系和规律的数学语言和工具，体会数学的应用价值.
2．目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能够通过教科书中例3和例4的已知条件，根据函数模型得到方程，利用信息技术求出方程的解，确定模型中的参数.
（2）能够在问题的引导下顺利解决教材中例3和例4中的实际问题，能够自主解决一些实际问题.
（3）能够体会函数在解决实际问题中的作用，如说出马尔萨斯人口模型在人口问题研究中的作用，碳14检测法在考古学中的价值等.
三、教学问题诊断分析
学生利用数学知识解决实际问题的经验比较欠缺，虽然学习了函数的基本概念和一些常见函数的图象和性质，研究了函数在解方程方面的应用，但是利用函数模型刻画实际问题还是存在一定的困难，主要表现在两方面：一是无法找到恰当的函数模型刻画现实世界中两个变量之间的关系；二是不能够根据函数模型正确地解决实际问题.
当给定函数模型时，虽然不存在选择函数模型的问题，但是需要根据条件确定所给模型中的参数，并且给定的模型与现实情况不一定吻合.
因此本节课的教学难点有两个：一是根据条件确定已知函数模型的参数；二是利用函数模型对实际情况作出正确的解释和判断.
为了破解上述难点，首先要让学生正确理解所给函数模型中变量的实际意义，结合条件得到方程，并利用信息技术求出参数的值；其次在得到函数模型之后，可以利用信息技术画出函数图象和实际数据的散点图，观察其吻合程度，分析模型的合理性，通过讨论由模型得到的值与实际情况产生差异的原因，让学生认识到用已知函数模型刻画实际问题时，应注意其适用条件.
四、教学支持条件分析
为了方便学生确定函数模型中的参数，分析函数模型，利用函数模型对现实生活进行解释和判断，本节课的教学，可以利用GGB软件绘制函数图象，并进行数值的计算.
五、教学过程设计
我们知道函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来刻画，面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？这节课我们将先学习利用已知的函数模型解决实际问题．
（一）例题教学
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型 ，其中t表示经过的时间， 表示 时的人口数， 表示人口的年平均增长率．
（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万，根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950年－1959年期间的具体人口增长模型．
（2）利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数.查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.
（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿？
问题1：用马尔萨斯人口增长模型 建立具体人口增长模型，要确定其中的哪些参数？
师生活动：学生阅读题目之后回答.
预设的答案：建立我国自1950年起的人口增长模型需要确定其中的人口初始量 及年平均增长率 ．
追问1：我国自1950年起的人口增长模型中人口初始量 是多少？
追问2：如果1950记为初始年（ ）？1950年1959年到经过了几年？相应 的取值为多少？
师生活动：学生思考并回答问题.
预设的答案：依题意是1950年末的人口总数55196万．1959年是第十年．1950年1959年到经过了9年， ．
追问3：根据所给数据，马尔萨斯人口增长模型中的参数 的值是多少？你准备采用什么样的方法来计算 的值？
师生活动：学生小组讨论计算参数的方法，教师点评补充,并选择其中的一种方法进行演算.
预设的答案：
方法一：我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万，根据这些数据可得 ，进而求出参数 .
方法二：通过国家统计局网站，查阅1950-1959年更多年份的实际人口数量，逐次计算各年的增长率，然后求出它们的平均值，进而得到年平均增长率 .
方法三：将1959年的人口数67207带入马尔萨斯人口模型 求出参数 .
由题意知 ，根据马尔萨斯人口增长模型有 ，
整理得 ，故 .有计算工具得 .
追问4：根据前面问题的结果，你能写出我国在1950～1959这一时期的具体人口增长模型吗？
师生活动：学生回答，教师补充.
预设的答案：前面问题的结果，可得的我国在1950～1959这一时期的具体人口增长模型为
.
学生得出的结果可能会遗漏的范围，教师帮助补充.
设计意图：引导学生经历运用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950~1959这一时期的具体人口增长模型的思维过程.
问题2：如何检验所得模型与实际人口数据是否相符？
师生活动：学生回答.
预设的答案：查阅国家统计局网站公布的我国在1951~1958年间各年末的实际人口总数，利用（1）中的模型计算1951~1958年各年末的人口总数，检验它们与实际人口数据是否相符.我们也可以画出函数 的图象，并根据国家统计局网站公布的各年末的实际人口总数数据画出散点图，通过函数图象观察所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合．
追问1：查阅国家统计局网站，得到我国1950~1959年各年末的实际人口总数，所得模型与1950年至1959年期间实际人口数据是否吻合？
| 年份 | 1951 | 1952 | 1953 | 1954 | 1955 | 1956 | 1957 | 1958 |
| 计算所得人口总数／万 | 56417 | 57665 | 58940 | 60243 | 61576 | 62938 | 64330 | 65753 |
| 人口数/万 | 56300 | 57482 | 58796 | 60266 | 61456 | 62828 | 64563 | 65994 |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
