视频简介：
视频标签：第十一届全国高中
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式》贵州—申
本视频配套资料的教学设计、课件 /课堂实录及教案下载可联本站系客服
贵州—申利兵—设计—基本不等式
2.2基本不等式（第1课时）教学设计
一、教学内容解析
1.内容
“基本不等式”是人教版普通高中教科书数学必修1第二章第二节内容，分为两个课时，第1课时内容为基本不等式的定义、证明方法、几何解释及应用。核心知识是基本不等式的定义；第二节课时内容为基本不等式的实际应用。
2.内容解析：
相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。基本不等式是一种重要且基本的不等式类型，在中学数学知识体系中是一个非常重要的、基础的内容。
基本不等式与很多重要的数学概念和性质相关。从数与运算的角度，
是两个正数
的“算术平均数”, 
是两个正数的“几何平均数”。因此，不等式中涉及的是代数中的“基本量”和最基本的运算。从几何图形的角度，“周长相等的矩形中，正方形的面积最大”“等圆中，半径不小于半弦”等，都是基本不等式的直观理解。
基本不等式的证明或推导方法很多，“分析法”的证明过程是“执果索因”，从数量关系的角度，利用不等式的性质来推导基本不等式，体现了代数证明的典型方法，是不等式性质应用的一个典型范例，“作差法”依据的是实数大小比较的基本事实，是最基本，最重要的不等式证明方法，学生在今后的学习中难免遇到代数证明的问题，而他们在初中又缺少代数证明的经验，有必要借助基本不等式的证明为学生打下这方面的基础。
从几何图形的角度，借助几何真观，通过数形结合来探究不等式的几何解释，加深对基本不等式的理解；在理解和应用基本不等式的过程中涉及变与不变、变量与常量，以及数形结合、数学模型等思想方法。因此，基本不等式内容是培养学生逻辑推理、数学运算、直观想象和数学建模素养的重要载体。
基于以上分析，确定本节课的教学重点:基本不等式的定义、证明方法、几何解释及简单应用。
1.课程目标
掌握基本不等式
。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题（这节内容课程目标与单元目标相同）。
-
课堂教学目标
（1）通过对两个平均数大小关系的比较，利用不等式性质证明基本不等式，积累代数证明的经验，知道基本不等式的内容及代数解释，发展逻辑推理等核心素养；
（2）通过基本不等式几何解释的探究，能说明基本不等式的几何意义，体会数形结合的数学思想方法，发展直观想象等核心素养；
（3）通过例1，能用基本不等式解决简单的不等式证明问题，加深对不等式的理解，巩固不等式证明方法，发展逻辑推理等核心素养。
3.课堂教学目标解析
（1）通过情境问题，知道两个正数的代数平均数、几何平均数及其几何含义。通过对两个平均数大小关系的比较，会利用不等式性质证明基本不等式，明确分析法的证明过程和证明格式。知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”，通过教学环节（一）创设情境，提出问题（二）推理论证，引出新知达成目标1；
（2）通过和重要不等式的比较，能说出两个不等式的代数结构，借助代换能由一个不等式得到另一个不等式；能在相应的几何图形中发现基本不等式中基本量与几何元素的对应关系，能利用图形解释基本不等式。通过教学环节（三）对比分析，深化理解（四）数形结合，再悟新知引出新知达成目标2；
（3）通过例1，能用基本不等式解决简单的不等式证明问题，加深对不等式的理解，巩固不等式证明方法，发展逻辑推理等核心素养。通过教学环节（五）简单应用、加深理解达成目标3。
1.认知基础
本节课的授课对象是我校高一年级的学生，学生已学习了本章的第一节“等式性质与不等式性质”.能够根据两个实数大小的基本事实，具备一定的推理能力，使用作差比较法证明简单的不等式；对于不等式的性质已有系统的学习，为发现及证明基本不等式提供了认知的基础；学习了重要不等式；初中学习乘法公式等知识的学习为基本不等式的研究提供了一般的方法。
2.认知困难
学生缺少代数证明的经验，采用分析法利用不等式的性质证明基本不等式是学生接触的第一个规范的分析法证明，这是学生学习的难点；如何构造一个几何情境解释基本不等式，学生很难想到。
3.教学难点
根据学生的学情，结合教学目标确定本节课的教学难点：基本不等式的证明及几何解释。
-
问题驱动.以核心问题为导向，借助主干问题、问题串驱动学生进行数学思考、数学探究、学习体验。学生通过核心问题的解决，经历尝试探究、分享交流、共同概括的过程，逐渐深入知识的核心与本质，最后总结知识与方法，从而发展数学核心素养；
-
情境教学.参考其他教材，结合我校学生的学情，本节课研究路径设计为“情境问题-两平均数的定义-两平均数大小比较-证明-基本不等式定义-两不等式联系-几何解释-应用”，力求设计能符合我校学生的认知规律，知识生成过程更自然；
-
三教引领.以学生为主体，教师为主导，在教学过程引导学生从不同的角度去观察、分析、感知知识的形成，引导学生分析、解决问题，教学生“想数学”，引导学生“做数学”，鼓励学生“说数学”；
-
技术支持.在进行基本不等式的几何解释教学时，利用信息技术展示动态图形，帮助学生直观地观察图形中几何元素之间的动态关系，并将其转化代数表示。
五、教学过程
（一）创设情境，提出问题
我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？今天我们一起来研究其中的一个。
【设计意图】基本不等式与学生初中学习的乘法公式有类似的作用，乘法公式能够简化某些特殊形式的代数式的恒等变形，而基本不等式使解决满足一定条件的代数式的最值问题有路可循，等式与不等式有许多共同之处，所以选择由此引入。
问题1：假设一个矩形的长宽分别是
和
，求矩形周长相等的正方形的边长，以及与这个矩形面积相等的正方形的边长。
引出算术平均数和几何平均数的定义。
问题2：两个正数
的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系。
【设计意图】在以往的教学过程中，发现我的学生很难想到用
分别代替重要不等式中的
得到基本不等式。翻阅其它教科书发现人教B版及沪教版采用的是先给出算术平均数、几何平均数的概念及几何意义，再探讨两平均数的大小关系，综合人教A版、人教B版及沪教版进行了如上处理。希望这样的设计能符合我校学生的认知规律，使知识的生成更自然。学生能知道两个正数的算术平均数和几何平均数的概念，能初步的感知它们的大小关系。结合学生的学情，预计学生会出现以下两种情况。
预设1：学生利用特殊值代入比较出两个平均数的大小：
教师在EXCEL中的赋值函数随机生成一些数据，请学生观察在这些数据中我们同学发现的不等关系是否仍然成立。
引导学生思考这么多正数都让
，命题“ ”是否为真命题，引出证明。
预设2：学生利用作差法比较出两个平均数的大小。
引出证明
（二）推理论证，引出新知
问题3：证明：若
预设1：作差法
预设2：分析法
分析：要证
（1）
只要证
（2）
要证（2），只要证
（3）
要证（3），只要证
（4）
要证（4），只要证
显然，（4）是成立的。当且仅当
时，（4）中的等号成立。
只要把上述过程倒过来，就能证明该不等式了。
【设计意图】借助§1.5要判定全称量词命题是真命题需要进行证明，引出问题3。学生刚完成2.1的学习，因此预计学生会用作差法进行证明，用不等式的性质证明一些简单命题不是本章的重点内容，但是因为学生在今后的学习中难免遇到代数证明的问题，而他们在初中又缺少代数证明的经验，所以本章有必要借助不等式的证明为学生打下这方面的基础。分析法是一种利用不等式的性质进行证明的方法，它不仅把基本不等式与初中学习的完全平方公式建立了联系，还进一步研究了如何利用不等式性质进行证明，为学生高中阶段的推理和证明提供了更丰富的策略。教师在该过程中将介绍分析法，引导学生发现分析法是一种“执果索因”的证明方法。结合基本不等式的证明过程，强调学生要规范分析法的格式，帮助学生通过典型案例理解分析法，进而掌握基本不等式的证明，有利于发展学生逻辑推理的核心素养。
引出基本不等式的定义：
基本不等式：如果
,那么
. 当且仅当
时等号成立
，其中
叫做正数a，b的算术平均数，
叫做正数a，b的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
【设计意图】阐述基本不等式的代数解释，不仅有利于加深学生对基本不等式的理解，而且与已有的平均数概念建立了联系，便于学生记忆这个不等式。
（三）对比分析，深化理解
借助赵爽弦图引导学生回忆重要不等式：
有
，当且仅当
时等号成立.
问题4：比较重要不等式与基本不等式，试找找它们之间的联系。
（若学生不能建立两个不等式的联系则追问：这两个基本不等式有什么相同点，有什么不同点？它们的结构有什么关系？能否用代换把重要不等式变成基本不等式？）引导学生发现用
分别代替重要不等式中的
，可以得到基本不等式。
【设计意图】 这样的比较激发学生去关注基本不等式的量和结构，激活学生的思维，促进学生进一步认识基本不等式。借助代换能把重要不等式换成基本不等式，代换能让一个式子千变万化，找到两个式子之间的联系，有利于发展学生逻辑推理的核心素养。
（四）数形结合，再悟新知
右图能解释重要不等式，能否尝试构造几何量，对基本不等式进行几何解释？
可用线段表示
，不妨设
则
的几何意义为线段
，
表示段长
的一半，即
。
如果想要更多的几何元素表述
，我们可以以
为圆心，
为半径画圆，则圆的半径就是
。
问题5：可过
点作
的垂线段
，连接，
，那你能在右边的图形中找到几何元素表述
吗？
【师生活动】小组合作，实践探索
预设1：不妨令
，则由不等式性质得
，
则
，在初中，由三角形相似有类似的比例关系，构造相似的直角三角形
，设
，则
，即
的几何意义为线段
长。连接
,在
中，有
,即
。容易得到
是直角，则D点落在以AB为直径的圆周上。
预设2：由射影定理可以得
,所以
,所以可以用CD表示
借助几何画板，给出基本不等式的一个动态几何模型，展示随着C点从A点移动到点B，引导学生发现：当且仅当
时，点
与点
重合，
，即半弦长不大于半径长。
因此：基本不等式
几何意义是“
半径不小于半弦”
【设计意图】基本不等式的几何解释是本节课的一个难点。学生有一定经验，例如已经对初中乘法公式和高中的重要不等式进行了几何解释，可以联想到用线段长度表示
，
的几何意义也容易想到，但是不容易想到
的几何意义。教师画出图形，通过小组合作探究的方式引导学生发现可以用CD表述
，再利用动态模型展示基本不等式从不等到相等的过程，从而体会基本不等式中蕴含的等式与不等式的内在联系。认知心理学认为，对同一个概念进行多元表示，有利于揭示概念的本质。通过该环节让学生从建立过程、证明方法和几何解释多个角度认识基本不等式，从而加深对基本不等式的理解，发展学生直观想象等数学核心素养。
（五）简单应用、加深理解
例1：已知 .
解：∵
,∴
∴
当且仅当
，即
时取等号。
【设计意图】基于学生基础情况，前面的重点难点又较多，所以对教科书中的例1进行了改编，把求最小值改为证明不等式。该证明要求学生从所求代数式与基本不等式在形式上的联系入手学生能进行简单的应用，
（六）总结反思，作业提升
1.课堂总结：通过这节课的学习，你有什么学习心得？可以从知识层面、方法层面进行分享。
2.教师用思维导图形式进行展示
【设计意图】通过问题促进学生对本节课进行回顾，在回顾中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，巩固所学知识；通过思维导图，形成知识框架，促进学生本节内容的掌握，为下一节课埋下伏笔。
2.作业布置
基础性作业：书45页第1,2题；
探究性作业：书49页第7题；
拓展性作业：著名史诗《埃涅阿斯纪》中有这样一段，“最终，他们出现在你眼前，可以看到新迦太基建立的塔楼；在那里买下一块土地，名叫比尔萨。”描写的是女主人公狄朵一路逃亡到北非海岸，并设法定居，为了购买土地与当地人经历了一番讨教还价，最终得到的承诺是她只能占有一块牛皮包住的土地，于是狄朵将牛皮切成尽可能多的细条，将细条相连成线从而围住了大片土地。
思考：如果要求围成矩形，你是狄朵你会怎么围？如果对形状没有要求，你又会怎么围？请思考后上网查阅相关资料。
【设计意图】“基础性作业”旨在感受基本不等式的使用方法，对于基本不等式的使用条件和注意事项加深理解。“探究性作业”49页第7题，苏教版采用了类似的问题引入基本不等式，学生感受数学源于生活。“拓展性作业”引导学生再次感受数学源于生活，培养学生用数学的眼光去观察世界、思考问题、分析问题和解决问题的意识。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
| -----更多视频请在本页面顶部搜索栏输入“第十一届全国高中”其中的单个词或词组，搜索以字数为3-6之间的关键词为宜，切记！注意不要输入“科目或年级等文字”。本视频标题为“第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式》贵州—申”，所属分类为“高中数学优质课视频”，如果喜欢或者认为本视频“第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《基本不等式》贵州—申”很给力，您可以一键点击视频下方的百度分享按钮，以分享给更多的人观看。优质课网 的成长和发展，离不开您的支持，感谢您的关注和支持！有问题请【点此联系客服QQ：9899267】 ----- |
