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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《指数》宁夏—曹
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宁夏—曹旭—设计—指数
指数
曹 旭（宁夏回族自治区银川市第九中学）
一、教学内容与解析
1.内容
次方根的定义及性质，根式与分数指数幂的转化，有理数指数幂的意义及其运算性质，无理数指数幂的意义及其运算性质．分为两个课时：第一课时完成根式与分数指数幂的转化，有理数指数幂的意义及其运算性质；第二课时完成无理数指数幂的意义及其运算性质．
本单元的知识结构如下：
2.内容解析
本单元内容是在数系扩充的背景下，基于运算性质的一致性将指数扩充到全体实数.既是代数中数及运算的一部分，也是利用代数方法研究指数函数性质的基础，属于概念型知识.
在初中平方根与立方根的概念基础上，进一步学习次方根的概念和性质.重温数的扩充明确数学中引入一个新的概念或法则时遵循一个原则：要与已有的概念或法则相容.遵循扩充原则，借助根式将整数指数幂推广到有理指数幂，利用逼近思想将指数的取值范围推广到实数，建立实数指数幂的概念，并研究其运算.“指数”的内容安排在“指数函数与对数函数”一章的第一节，是为后面指数函数概念的抽象与代数法研究性质奠定了基础.同时也为利用指数幂及其运算性质研究对数的运算性质，进而研究对数函数等做好准备.
指数幂的拓展过程充满着极大的育人价值.数学概念的延伸与拓展中体现出数学思维的严谨性、数学思想方法的前后一致性和数学知识发生发展过程的逻辑连贯性，可以使学生体会到数学对象的内涵、结构、内容和方法的构建方式，从而使学生体悟到“数学的方式”，领会数学地认识问题、解决问题的思想方法，有助于学生理解数学概念的发生和发展过程，发展“四基”“四能”进而提升数学素养.
基于以上分析，本单元的重点是指数幂的推广.根式性质的理解，指数幂运算性质的应用.
二、目标与目标解析
1.单元目标
通过有理数指数幂
、实数指数幂
含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.
2.课时目标
（1）经历次方根定义形成过程，理解根式的概念，掌握根式的性质，培养数学抽象核心素养.
（2）会进行根式与分数指数幂之间的相互转化，培养学生逻辑推理核心素养.
（3）理解有理数指数幂的意义及其运算性质，并能运用有理数指数幂的运算性质进行化简求值，提升数学运算素养.
3.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）通过类比初中所学平方根、立方根概念，获得n次方根的概念与性质，能够正确的运用性质化简、求值.
（2）经历从整数指数幂到有理数指数幂的扩充过程，明确扩充原则，能说出
等符号的意义.
（3）能够将根式转化为分数指数幂，再利用有理数指数幂性质进行化简、求值.
三、学生学情分析
1.学生所具有的基础
从知识内容上说：初中阶段学习了乘方概念，知道了乘方是一个数“自相乘的缩写”.在
中，
叫做底数，
叫做指数.还学习了正整数指数幂的运算性质和除法运算，定义了0的指数幂，利用正整数指数幂定义负整数指数幂
，把指数范围从自然数推广到全体整数.定义了二次根式，经历了二次根式性质的探索过程.
从学习过程上说：学生经历了从自然数系出发，向整数、有理数、实数的扩充.还经历了正整数指数幂向整数指数幂的扩充.
从思想方法上说：学生积累了的类比、归纳、分类讨论的学习经验.
2.达到目标所具有的基础
学生要有一定的数系扩充经验，并明确每一次扩充的原则是原有的运算性质不改变，还要具备较强的代数思维和逻辑推理能力.
3.学生所具有的基础和达到目标所需基础之间的差异
学生不清楚从整数指数指数幂到实数指数幂推广的整体架构和原则.不具备幂运算与根式运算之间的转化技能，在运算上经常会出现错误.
基于以上分析，本单元的难点是构建指数幂推广的整体架构，分数指数幂的理解以及实数指数幂的运算性质的应用.
四、教学策略分析
1.构建指数幂的拓展原则，明确研究思路.通过梳理数系扩充的整体架构，明确扩充原则是运算性质不变，遵循这一原则展开指数幂扩充的研究.最终形成一套指导思想明确、研究思路清晰、研究方法可迁移的推广主线.
2.数学思想方法引导学生学习.通过丰富的典型例证形成定义、辨析概念过程中蕴含着大量的数学基本思想方法，包括观察分析、类比、分类讨论，特殊化、一般化等得出结论.
3.加强信息技术与课堂教学融合.有理数指数幂的性质完整证明较为复杂，实数指数幂性质的证明需要极限的理论，我们可以借助GGB软件直观地感受指数幂的性质.
五、教学过程设计
1.了解背景，统领全章
引导语：在第三章我们学习了函数的概念和性质，并初步应用它研究了幂函数，本章开始，我们将利用上一章的内容研究几个具体函数.
问题1：请同学们先阅读教材第103页章头图与章引言，回答下面问题：
（1）本章将要学习的内容是什么？
（2）从文中你可以了解这些函数可以解决哪些实际问题？
为了研究指数函数，我们需要把指数的范围拓展到全体实数.那么拓展的原则是什么？如何拓展呢？我们先从已有的知识经验上进一步研究.
师生活动：学生带着问题阅读、思考并回答，教师点拨，并引出课题.
【设计意图】：通过章头图与章引言的学习，使学生了解本章的学习内容和要解决的实际问题，建立整体框架，符合学生的学习心理特征.
2.复习旧知，梳理路径
问题2：在小学和初中的学习中，“数”的扩充经历了怎样的过程？运算性质是否发生了变化？
师生活动：引导学生重新认识数系的扩充过程，明确数学中引入一个新的概念或法则时，要与已有的概念或法则相容.
引导语：数系的每一次扩充遵循了这样的原则：扩充后的数系中依然保持了原有的运算法则不变.数系的扩充为指数幂的扩充指明了方向，我们再来回顾指数幂的扩充.
问题3：在初中我们学习了正整数指数幂，你能说出正整数指数幂的意义和运算性质吗？
追问：初中还把指数进行了扩充，使其可以取负整数，你能说出负整数指数幂意义是什么呢？
师生活动：正整数指数幂的意义为个自相乘，即
运算性质有：
将指数扩充到负整数指数幂
后，遵循了扩充原则：运算性质没有发生变化.即有
问题4：在数系扩充的背景下，还想引进什么样的指数使指数幂进一步扩充？你认为扩充的原则是什么？
师生活动：
【设计意图】：指数幂的拓展过程与数及其运算的扩充过程有关联，通过加强与初中整数指数幂拓展经验相联系，引导学生建立拓展指数幂的整体架构.
3.类比学习，形成概念
问题5：在初中我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根.你能说出它们的概念并举出实例吗？
比如：
，那么
叫做
的二次方根（平方根）.
如果
，那么
叫做的二次方根（平方根）.记作
；
比如：
，那么
叫做
的三次方根（立方根）.
如果
，那么叫做的三次方根（立方根）.记作
；
追问1：类比二次方根、三次方根的概念，你能说出四次方根，五次方根的概念吗？
如果
，那么叫做的四次方根.记作
；
如果
，那么叫做的五次方根.记作
；
追问2：你能归纳出更一般的次方根的概念吗？
如果
，那么叫做的次方根.其中
.
追问3：讨论任意实数都有次方根吗？有几个？该如何表示实数的次方根？
师生活动：学生小组讨论后全班交流，教师收集整理学生易错点.在进行点评的基础上，给出实数的次方根的表示和根式的定义.
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存在，有一个，是正数 |
存在，有两个，互为相反数 |
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存在，有一个，是负数 |
不存在 |
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叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.
形成定义辨析概念
，那么次根式
有什么性质吗？
，你认为次根式有什么性质？
，你认为次根式有什么性质？
次方根的性质
次方根的性质，计算下列值
，2与5,10之间有什么关系？
，3与4,12之间有什么关系？由此你能得到什么结论呢？出发，希望扩充后指数幂的运算性质不发生变化，便有
，从而得到
，发现
，从而
.
.
你能得到负分数指数幂结论吗？
的定义，将其和根式联系在一起.从而得到更一般的
定义，类比负整数指数幂和0的整数指数幂的定义得到负分数指数幂和0的有理数指数幂的定义.将指数范围顺利、合理的扩充到有理数.
，
随着
的增大而增大；当
，随着
的增大而减小.
（2）
（2）
值.视频来源：优质课网 www.youzhik.com
