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视频标签：圆与方
所属栏目：小学数学优质课视频
视频课题：人教版小学数学六年级上册《“圆与方”》北京市西城区
教学设计、课堂实录及教案：人教版小学数学六年级上册《“圆与方”》北京市西城区展览路第一小学
教学背景分析
“圆与方”这部分内容是学生在认识了正方形、圆及其面积的基础上进行教学的。它既与前面的内容有密切的联系，又是对前面知识的总结与提升。“圆与方”是学生第一次真正意义上将直线型图形与曲线型图形相结合，它既能使学生在探究过程中体会图形的分割搭配之美，又能在视觉上有直观的感受。 “圆与方”在中国文化中有着深厚的基础，中国自古就有“天圆地方”之说，这体现了中国文化的中庸之道。生活中我们经常可见建筑物、装饰物中利用了圆与方的关系，产生的美妙效果，从而体会数学的实用性。
我翻阅了北师大版、苏教版有关“圆”的教学内容，这两个版本的教材都只是在练习中出现了计算“正方形内最大的圆的面积”的练习，可见这两个版本的教材对于圆与方的内容只是定位在能够正确求出组合图形的面积这样的水平。而人教版教材安排了学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆的面积差这一实际问题，让学生经历问题解决的全过程。教材之所以这样安排，不仅仅是让学生通过寻找图形之间的联系解决问题，更重要的是在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
课前，我对学生进行了前测，设计了三道前测题。（1.计算圆的面积。2.画一画写一写,找出下面图形之间的联系。3.试着求出圆中方中正方形的面积。）
从前测的结果可以看出，100%的学生能正确求出圆的面积，近83%和37%的学生能正确指出方中圆、圆中方中的图形关系，只有13%的学生能正确求出圆内最大正方形的面积。
可见学生对圆与方的认识，更多的只是停留在对单一图形的直观认知上，不能用联
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系的眼光去看待这两个图形，并找到两个图形之间的关系。尤其对于圆中方，基于学生原有的思维定式，不能将找到的联系合理运用来解决问题。对于学生的学习困难，应设计什么样的教学活动来突破难点，完善学生的认知呢？是否可以通过学生的动手操作使其对图形之间联系的认识有所感知呢？所以我设计了请学生在圆上找点连线组成与圆有联系的新图形的活动，学生在活动中经历了不断调整的探究过程，由最初的无意识连接图形到逐渐去寻找联系，根据联系来连接新图形，使学生对图形之间的联系有了更深层次的理解。
问题解决是一种在应用数学的过程中形成的数学能力。这种数学能力是数学教学必须着重培养的数学素质之一。通过五年级的学习，学生已经掌握了问题解决的基本步骤，会用“阅读与理解”、“分析与解答”、“回顾与反思”的思路去思考问题，解决问题。那么在本节课的教学中，怎样才能使学生在问题解决方面有新的发展呢？我设计了在“阅读与理解”环节，引导学生体会既关注文字信息同时也关注图形中所蕴含的信息，使学生理解信息更全面。“回顾与反思”环节中通过回顾问题解决的全过程，引导学生猜想验证，在反思中得出一般性地规律。
教学目标
1.学生在“方与圆”的问题情境中，发现正方形和圆面积之间的关系，培养学生提出问题的能力，激发学生自主探究的欲望。
2.通过观察，操作，猜想、验证等数学活动，经历问题解决的全过程，积累问题解决的经验，提高学生分析问题，解决问题的能力。
3．学生在解决问题的过程中，进一步感受平面图形学习的价值，提高数学学习的兴趣和学好数学的自信心。
教学重点
教学重点：经历问题解决的全过程，积累解决问题的经验。
教学难点
教学难点：探究图形之间的关系，得出一般性规律。
教学过程（文字描述）
设计意图
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问：有什么困难？ 正方形的边长不知道，找不到正方形边长与圆之间的关系。 B.小组讨论后独立解答。
（提示：看看能不能添加辅助线，找找图形之间的关系。） C．交流
展示学生的图和做法。
对比画辅助线的不同方法，他们的共同之处是什么？
（画辅助线，分割图形，找到图形之间的联系或分割成三角形来计算正方形的面积。）
小结：这幅图，正方形的边长与圆之间没有直接的关系，通过画辅助线的方式找到圆与正方形之间的联系，抓住联系就确定了计算圆和正方形面积的核心要素。 3.回顾与反思。
（1）师：同样是圆与方组合的图形，为什么第一幅图同学们很顺利解答，而第二幅却遇到了困难？困难是什么？我们怎么解决的？
这两个问题在解决方法上，有什么相同的地方吗？ A都是找到图形之间的联系解决问题，如果不好找联系，可以试着画出辅助线来帮助思考和解决。
B都是用大面积减小面积的方法去求阴影部分面积。 （2）探究一般性规律。
师：刚才我们解决了半径是1米时，正方形与圆面积差的问题，对于这个问题是否可以继续研究？
干预学生，小组内解决困难。
引导学生关注通过添加辅助线，寻找图形之间的联系。
第一次反思：对问题解决本身的回顾反思。
预设：猜想半径发生变化，面积差是否会变呢，会怎么变呢？ 问：我们可以怎么研究？ 预设：1、设数 2、设字母
小组合作：算算当r=2、3、4、5时，S=？面积差变了吗？发生了怎样的变化？ 你发现什么了？ 学生汇报 预设：
A：面积差随着半径增大而增大
B：纵向观察，半径为2时，面积差是半径为1时的4倍，半径为3时，面积差是半径为1时的9倍„„ C：用字母研究：4r2-πr2=0.86r2
师：得到什么结论？（不论半径是几，面积差都是半径平方的0.86倍。）
验证结论（用r=2、3、4......代入字母表达式中验证结论）
小结：我们利用图形之间的联系解决了课前的困难，发现阴影面积等于半径平方的0.86倍，看来不论半径是几，利用这个规律都可以很快得到面积之差。
（3）课下自主解决圆中方图形中阴影面积的规律。 三、欣赏圆与方的文化。 出示图片欣赏。
四、全课总结，认识升华。
谈收获。（知识的、研究方法的、问题解决的过程）
第二次反思：对问题进行深层次探究。
培养学生的自主学习能力。
师：正方形与圆之间还有许多值得探究的问题，同学们可以在课下继续研究。
反思
“圆与方”这部分内容是人教版新增加的例题，以往这个内容的教学一般都是以练习的形式进行，目的只定位在能够正确求出组合图形的面积这样的水平。人教版教材安排了学生解决圆的内接正方形、外切正方形与圆的面积差这一实际问题，让学生经历问题解决的全过程。教材的安排不仅仅是让学生通过寻找图形之间的联系解决问题，更重要的是在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律，提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
一、注重学生问题解决能力的培养
问题解决是一种在应用数学的过程中形成的数学能力，这种数学能力是数学教学必须着重培养的数学素质之一。通过五年级的学习，学生已经掌握了问题解决的基本步骤，会用“阅读与理解”、“分析与解答”、“回顾与反思”的思路去思考问题、解决问题。那么本节课的教学可以使学生在问题解决方面有哪些新的发展呢？在“阅读与理解”环节，可以引导学生体会既关注文字信息同时也关注图形中所蕴含的信息，使学生理解信息更全面。“回顾与反思”环节中设计了引导学生回顾问题解决的活动。同时对于题目的回顾与反思不仅仅停留在对解决问题方法的总结上，而是拓展提升，引导学生从这道题拓展到探寻“半径发生变化后面积差会如何变化，面积差与圆之间会存在什么样的规律”。这样的设计使简单内容的研究更深入，在研究中学生得到解决这一类问题的普遍规律，学生的“回顾与反思”更有价值也更有深度了。
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二、关注学生学习困难，适时干预，建立关联。
学生对圆与方的认识，更多的只是停留在对单一图形的直观认知上，不能用联系的眼光去看待这两个图形，并找到两个图形之间的关系。尤其对于圆中方，基于学生原有的思维定式，很难找到图形之间的联系并合理运用来解决问题。
教师采取了在“方中圆”这个简单问题的处理过程中帮助学生提炼解题关键点---就是找到图形之间的联系，并转化为组合图形的面积计算方法来计算。力求帮助学生扫清学习的障碍，分散教学的难点。在后面解决“圆中方”问题时，对于学生的困难适时干预，并采用小组合作、讨论来解决问题。随后教师通过对两道题目解决问题过程的回顾，组织学生对比反思，探寻出现困难的原因及解决困难的策略。
三、欣赏生活中的数学之美。
“圆与方”是学生第一次真正意义上将直线型图形与曲线型图形相结合，它既能使学生在探究过程中体会图形的分割搭配之美，又能在视觉上有直观的感受。在课堂中适时出现生活中的一些蕴含圆与正方形组合的图片，从生活引入，把生活现象抽象出数学图片，联系生活实际学数学。在课的最后适时拓展圆与方的文化内涵，了解中国自古就有“天圆地方”之说，建筑物、装饰物中利用了圆与方的关系产生的美妙效果，从而体会数学的实用性，体会生活中的数学之美。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
