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初中数学人教版八年级下册第十八章黄金矩形-湖北

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视频课题:初中数学人教版八年级下册第十八章黄金矩形-湖北

教学设计、课堂实录及教案:初中数学人教版八年级下册第十八章黄金矩形-湖北省 - 宜昌 

黄金矩形 
一、教学目标 
1.了解黄金矩形,通过折叠黄金矩形活动,加深对黄金矩形的认识 
2.通过观察、推理、交流、反思等数学活动培养学生发现、分析、解决问题的能力,积累数学活动经验。 
3.学生通过主动参与、积极思考、合作交流体会黄金矩形的文化价值,感悟到 “数学美” 。 
    二、学情分析 
  对于八年级下学期学生而言,很乐于折纸这样的数学活动,他们具有较强的动手操作能力.逻辑思维能力也有了很大的提升,演绎推理的意识与能力也趋于成熟,但是,对于较复杂操作的数学活动,还是缺乏理性思考的意识.     三、重点难点 
重点:认识黄金矩形,发现生活中数学的美,用矩形纸片折叠黄金矩形,在动手过程中培养学生思考探究的习惯,养成合作交流意识. 
难点:用矩形纸片折叠黄金矩形折法的探究过程     四、教学过程设计 
(一)发现美 
师:上课!同学们好! 生:老师好! 师:大家爱美女吗? 生:爱! 
师:爱美之心,人皆有之.在本节数学之旅开启之前,让我们来欣赏一张美女的脸.      课件展示图片。提问:她美吗? 
生:美! 
    设计意图:通过图片展示,让学生初步发现生活中的美,激发学生的兴趣.    (二)探索美 
师:接下来老师要变个小魔术。以发际线到下颚的连线为线段AC,连接两眼的线段与
 
                    
             
                    
                            2 
AC交于点B。现在老师移动B点的位置,就是见证奇迹的时刻。 
移动B点,学生评价。追问,请同学们说一说当点B移动过程中,ABBC与C
AB
A的比和这张脸的颜值有什么关系? 
生:当
ABBC与C
AB
A的比接近时,她的颜值高。 师:那B点在那个位置时颜值最高? 生:当
ABBC=C
AB
A时!   设计意图:利用几何画板,感受当点B在线段AC上的位置使得ABBC=C
AB
A时才能引起视觉的美感,为引出黄金分割概念做铺垫。 
师:我们把这个能引起美感的规律叫做黄金分割。点B把线段AC分成两部分,如果
ABBC=C
AB
A,那么称线段AC被点B黄金分割,点B为线段AC的黄金分割点,这个比叫做黄金比。数学家们算出了准确的黄金比是 
2
1
-5,其实等大家到九年级学习一元二次方程后也能计算出这个比值。有时候我们也取黄金比的近似值0.618。 
现在我们以较长线段AB为长,较短线段BC为宽,构造矩形ABCD,此时这个矩形宽与长的比是
2
1
-5(约为0.618),我们把这样的矩形叫做黄金矩形。 设计意图:通过黄金分割的定义引出黄金矩形的定义,让学生知道黄金矩形的由来。 (三)欣赏美 
     师:黄金矩形在我们日常生活中无处不在,让我们一起欣赏欣赏生活中的黄金矩形。       播放“黄金矩形的应用美”微课。 
     师:你能发现生活中还有哪些黄金矩形吗?请同学们测量一下身边的物品,找找黄金矩形或者近似的黄金矩形? 
     生:我们的练习本宽长比是0.71,不是黄金矩形。     生:便笺纸近似为黄金矩形。 
生:学生卡宽长比是0.621,近似为黄金矩形。  
设计意图:让学生感受黄金矩形在建筑、艺术、生活中的应用,体会生活中处处都有数学的美。 
(四)创造美 
 
                    
             
                    
                            3 
 师:同学们看一看,老师手中的矩形纸片是黄金矩形吗? 生:不是。 
师:大家能不能通过折叠这张矩形纸片,得到一个黄金矩形呢? 请同学们翻开教材P65页,按课件要求,分小组完成折叠活动。 (学生动手折叠) 
师:我发现XX同学遇到了困难,XX,请说出你觉得困难的地方,我们一块想想办法。 生:我觉得对角线AB不好折,总是歪的。 师:有没有同学能帮助他想个办法? 
生:可以直接连接两个顶点,画出对角线AB。 师:这个方法好!XX你学会了吗? 生:学会了! 
师:还有没有同学有其它困难? 
生:AB折到AD不是很明白,到底是怎么折的看不懂。 师:哪位同学有解决办法? 
生:我们可以像刚才XX说的一样把AB画出来,折叠时使得对角线AB和射线AC重合,点B重合的点做上记号,记为点D,就折出AD了。相当于折叠角MAD的角平分线。 
师:请你向同学们演示一遍你是怎么折出黄金矩形的。 (学生演示) 
师:(鼓掌)这位同学的演示非常详细,下面老师用动图再演示一遍。请同学们一边跟着折,一边思考每一步的几何原理是什么? 
     师:第一步,折一个正方形,这样能折成正方形用了正方形的哪条判定定理?      生:一组邻边相等的矩形是正方形。 
     师:第二步,将这个正方形对折,将它二等分。此时两个小矩形的宽是原来正方形边长的二分之一,那么小矩形的宽是矩形长的?                                                    
   
   生:二分之一。 
     第三步,折出内侧矩形的对角线AB,此时同学们可以用XX的小技巧将AB画出来。接着把AB折到与下面的长边重合处,将点B所落的点做上记号,记为点D。这样折AB和AD有什么关系? 
 
                    
             
                    
                            4 
生:相等 
师:第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,就得到了矩形BCDE.这一步的判定定理是什么? 
生:三个角为90度的四边形是矩形。              
                        
    师:大家折好了吗? 请将你折好的矩形举起来向老师和周围的同学展示一下。     生:(齐声)折好了。展示所折矩形。 
     师:真棒!我们按照书上的步骤折出来了矩形BCDE,它到底是不是一个黄金矩形?你能不能用所学的数学知识验证它是一个黄金矩形?请同学们观察图形。 
    师:(1)若正方形MNCB的边长是2,则BC= 2 ,AC= 1 ,AB=   ,AD=    ,CD=     , 则   =     
,即矩形BCDE的宽比长的比值为       ,所以矩形BCDE是黄金矩形。        
(2)若正方形MNCB的边长不是一个特殊值2,而是2a。 你还能判断矩形BCDE是黄金矩形吗? 
则BC= 2a ,AC= a ,AB=    
,AD=     ,CD=       ,      则     =_ 所以    =       ,即矩形BCDE的宽和长的比值为        
所以矩形BCDE是黄金矩形。 
师:通过刚才的折叠过程,我们发现给你任意的一张长方形纸条,都能折叠出一个黄金矩形。 
(3)请大家再来看这张图片,除了矩形BCDE外,还有其它的黄金矩形吗?请同学们以小组为单位观察,猜想。  
生:矩形MNDE是黄金矩形。 师:为什么? 
生:它的宽长比       。 师:这并不是黄金比。 
生:我们可以通过分母有理化,将它化简为      ,从而证明矩形MNDE是黄金矩形。 
师:非常好!我们再次观察这个图形。矩形MNDE是黄金矩形,矩形BCDE是黄金矩形BCDE,四边形MNCB是正方形,三个图形有什么联系? 
BC
CD552
1-52
1
-5a5a
5a)(1-5BCCD2
1-52
1-51-51
52NDMN
2
1-5NDMN
                    
             
                    
                            5 
生:黄金矩形MNDE截去一个正方形MNCB,得到了黄金矩形BCDE。 
师:如果在黄金矩形BCDE上截去一个以宽为边长的正方形,是不是也能得到一个新的黄金矩形? 
生:(齐声)是。 
师:(利用动图演示)以此类推,不断截去新的以宽为边长的正方形,就可以不断得到新的? 
生:(齐声)黄金矩形! 
师:由此我们得到黄金矩形的一个特点:以一个黄金矩形的宽为边长截去一个正方形后,剩下的矩形还是黄金矩形。 
设计意图:引导学生动手操作,解释每一步折法的目的,突破难点。从几何证明的角度理解折法的意义,经历从特殊到一般的说理过程,证明折叠的正确性。通过师生共同探讨,得出黄金矩形的另一个特点,加深对黄金矩形的了解。 
(五)收获美 
师:本节课,(1)我们学习了什么基础知识? 生:黄金矩形! 师:什么叫黄金矩形? 
生:宽和长的比是   的矩形是黄金矩形。 
师:(2)在认识黄金矩形的过程中,用到了哪些数学方法? 生:观察、测量、计算、折叠、验证。     师:(3)在验证过程中,体现了什么数学思想? 
生:从特殊到一般。 
师:(4)请你利用折叠的黄金矩形制作一张书签或者卡片,比比谁的设计更有美感。 设计意图:从知识与技能,过程与方法,数学思想的方面对本节课进行回顾和小结,帮助学生养成善于思考的习惯。通过利用折叠的黄金矩形制作书签或者卡片,学以致用,感受数学来源于生活又应用于生活。

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