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视频标签：猜想,证明与拓广
所属栏目：初中数学优质课视频
视频课题：北师大版初中数学九年级上册“综合与实践 猜想、证明与拓广”河南省 - 郑州
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“综合与实践：猜想、证明与拓广”教学设计
执教人 刘琼
一、学情分析
学生在经历了证明一证明二以及特殊的四边形的学习后，积累了一定的证明的经验思想和方法，具备了几何证明及探究的能力，在九上的第二章学习了一元二次方程后，会利用根的判别式判断根的情况，并且积累了列一元二次方程解决几何问题的实际经验。 二、教材分析
猜想、证明与拓广，通过一系列具体的问题逐渐展开，引导学生分类研究，先考察一些简单的，特殊的情形，发现一些规律后再讨论一般情况，在此过程中让学生不断的体会由特殊到一般的探究问题的思想，寻求一般性的解决方法。培养学生直观“判断”和正确“猜想”，并配合一定的形式说理，在交流个人想法中拓展思维。猜想要“检验是否存在”，再由“特殊到一般”给出一般性的证明.由“倍增”再到“减半”的“拓广”，总结获得的数学知识和策略性的经验，发展学生的推理能力和探究能力。教学突出学生自主探索，合作交流，协助学生自行找到解决问题的方法。 三、学习目标
1、经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。
2、在探究过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会知识之间的内在联系以及证明的必要性。
3、在合作交流中，扩展思路，发展推理能力。 重点：经历猜想、证明、拓广的“数学化”的过程。 难点：在问题解决过程中综合运用所学知识
四、教学流程：
正方形是否存在“倍增”正方形
正方形不存在“倍增”正方形.
相似形是否存在“倍增”图形 正方形是否存在“倍增”矩形
相似形不存在“倍增”图形. 小组讨论： 1.一元二次方程； 2.分式方程； 3.二元一次方程组； 4.函数图像解法 具体长方形存在“倍增”图形.
探究长为m，宽
为n的长方形. 类似方法
任何长方形存在“倍增”图形
其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？
长方形是否存在“减半”问题，“三倍”问题？…… 矩形是否存在“倍增”矩形
五、教学过程 教学程序 教学设计 设计意图
导入
播放视频：四色猜想
看完视频后补充其它数学史上有名的猜想，导入新课内容。
通过视频介绍四色猜想，激发
学生的学习兴趣，补充数学史
上的著名猜想，引发学生的好
奇心，自然过渡到新课内容。
探究一：正方形倍增问题 问题提出：
任意给定一个正方形，是否存在另
一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？
你是怎么做的？都有哪些解决方法？（同桌交流）
提出猜想：
已知 正方形 所求 正方形 所求
正方形
边长 1 ？ ？ 周长 4 8（周长
固定为2倍） ？ 面积 1 ？ 2（面积固定为
2倍）
我们由一些特例得到一个猜想：对于一个正方形，不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。但这一猜想对任意正方形一定成立吗？怎样验证猜想的正确
性？（随机提问） 引导学生由特殊转入一般，由验证转入证明。
抛出问题，引发学生思考，鼓
励学生大胆猜想，并尝试用多
种方法解决问题，并及时给予
点评和鼓励。
从特例入手，引导学生大胆提
出猜想。
教学程序 教学设计 设计意图
已知
正方形 所求
正方形 所求
正方形 边长 a ？ ？
周长 4a 8a（周长固定为2倍）
？
面积 a2 ？ 2a2
（面积固定
为2倍） 验证猜想：
用字母表示边长，得到一般性的结论，或利用相似的知识解释。
任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍。
（1）你能试着总结一下我们刚才解决问题的过程和方法吗？（随机提问） （2）你还能提出哪些新的问题？
圆、等边三角形、正多边形、等腰三角形、矩形、菱形等倍增问题。
追问：有哪些问题是你现在可以解决的？
引导学生由特殊回归一般，感
受证明的必要性，得出正确结论。
让学生对所学新内容进行及时梳理。 刚才研究的是正方形的倍增问
题。我们学过的其他图形是否也有这样的性质呢？大胆提出你的猜想？让学生感知到我们
不仅解决了问题,而且学会多种方式多种途径思考问题,发
散思维。
教学程序 教学设计
设计意图
探究二：
矩形倍增
问题
我们不妨先研究矩形的“倍增”问题？ 问题提出：
任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？
对于这个问题，你能参照前面的探究方法，说说探究的一般步骤吗？（随机提问）
矩形的形状太多了，我们不妨先来研究几个特例。
小组合作：从所给矩形中三选一进行研
究，记录研究过程。
给学生充分的自由度，方法自选。 合作结束后，小组代表展示。 提出猜想：
任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
那么这个结论正确吗？是否具有一般性？ 验证猜想：
对于长和宽分别为m和n这样一般的矩形，是否仍然存在倍增矩形？
我们借助刚才的方法继续完成探
究。带领学生共同完成。 通过证明，我们得到了一个一般性的结论：任意给定一个矩形，一定存在另一
长 2 3 3 宽
1
1
2
让学生类比正方形倍增问题研究思路，试着说出矩形倍增问题的研究思路。
引导学生从特例入手研究问题，教师深入学生中间，适当给予指导。
对学生的方法进行总结评价，凸现类比、转化的数学思想方法，以类比引起新的认识冲突，促使学生重新审视，认真探究
前面将问题特殊化后，在解决
时积累了不少宝贵经验和方法，此时再将一般问题作为研
究对象，符合一般认知规律，
由于此问题涉及到解含有字母系数的一元二次方程还要讨论22mnmn是否大于0的
教学程序
教学设计
设计意图
个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。
你能再次对我们的研究过程作出
总结吗？
问题，对于多数学生来说会产
生一定的困难，采用师生共析
或告知的方式，使学生理解．
新内容及时梳理
总结提升 通过本节课的学习，你都有哪些收获？
学生自己说收获，也是对知识的一种提炼升华。 作业布置 本节课我们先后研究了正方形和矩形的倍增问题，你还能再提出哪些问题？ 这是我们下一节要研究的问题。类比本节课的探究方法，请大家尝试解决矩形
减半问题，下节课小组进行展示交流。 学生根据结论进一步猜想，提
出新的问题；
教师引导、鼓励学生生成新的
猜想，为下节课的学习埋下伏
笔。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
