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视频标签：二次函数的图像,抛物线
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视频课题：人教A版高二数学选修2-1第二章《为什么二次函数的图像是抛物线》宁夏 - 银川
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《为什么二次函数的图像是抛物线》教学设计
教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》选修2-1 课题：2.4探究与发现 为什么二次函数的图像是抛物线 课时：1课时 一.教学内容分析
二次函数2+bx+c0yaxa的图像及其性质的应用在高中数学教学内容中占有重要地位，而抛物线及其几何性质是圆锥曲线一章中继椭圆，双曲线后的第三节内容。本节课是抛物线及其几何性质后的“课后探究与发现”内容，学生在充分学习抛物线的概念、几何性质之后，从曲线与方程的角度探究“为什么二次函数的图像是抛物线”，它能够让学生进一步了解抛物线的几何特性，同时丰富学生的知识阅历。
因此，我认为本节课的教学重点为：为什么二次函数2+bx+c0yaxa的图像是抛物线的发现、探究及证明。
二．教学目标设置
1.回顾初中数学教材对抛物线的定义，引发学生思考“为什么二次函数
2+bx+c0yaxa的图像是抛物线”，培养学生发现问题的意识。
2.引导学生探究“为什么二次函数2+bx+c0yaxa的图像是抛物线”，让学生在经历经历观察、分析、操作、论证、归纳的认知过程，体会知识之间的内在联系，理解知识的本质；体会运用化抽象为具体、由特殊到一般等数学的思维来解决问题的方式；体会其中蕴含的数形结合、转化和化归等数学思想方法。
三．学生学情分析
本节课的授课年级是高二理科学生。从知识方面来说。在高一年级已接触了解析几何初步，学习了直线与圆，高二又学习了椭圆、双曲线与抛物线的定义、标准方程及其几何性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识。基本掌握了求曲线方程的一般方法，对图像的平移变换规律也有一定的了解和应用；从能力方面来说，具备了一定的知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力。
2
并对数形结合、化归、综合法及分析法等数学思想方法有一定的感悟。
因此，我认为本节课的教学难点为：探究二次函数2+bx+c0yaxa的图像是抛物线的方法，及其推演过程。
四．教学策略分析
根据已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学采用合作学习、自主探究的方式。
（1）完成学案中的课前预习部分，解决两个问题。一是函数图像变换的方法：坐标平移或向量平移；二是解决求证某个二次函数图像是抛物线的问题，为后续探究二次函数图像是抛物线做铺垫。
（2）提出课题后，请学生说明判断二次函数2+bx+c0yaxa图像是抛物线的方法，确定本节课的研究方案；
（3）运用转化化归的数学思想方法，从特殊到一般层层剖析为什么二次函数2+bx+c0yaxa的图像是抛物线。
同时，本节课充分运用了多媒体信息技术，通过图形的变换辅助学生理解图像的变换，提升数形结合的意识和能力。
五、教学过程设计 1.提出问题
【引课】前面我们类比椭圆、双曲线的学习过程，研究了抛物线的定义、标准方程及其简单几何性质。然而，在初中阶段我们就已经接触抛物线了。
【展示】初中数学教材对抛物线的说明。
（教师：初中教材指出二次函数的图像是抛物线，但并没有说明原因） 【问题1】你认为二次函数的图像抛物线和我们学习的抛物线是一致的吗？ （请学生相互谈论，说明自己的看法。
生一：一致的。二次函数对应的抛物线是开口向上或向下的抛物线； 生二：一致的。不知道原因。）
【过渡】同学们主观上认为二次函数的图像就是我们学习的抛物线，那么原因是什么呢？本节课我们就来探究这个问题——为什么二次函数
2+bx+c0yaxa的图像是抛物线？（引入课题）
3
2.新知探究
【问题2】你认为判断二次函数2+bx+c0yaxa的图像是抛物线的方法是什么？
（请学生说明：
方法一：（定义法）二次函数图像上的点满足抛物线的定义；
方法二：（解析式法）二次函数的解析式可以写成抛物线的标准方程的形式。） 【过渡】我们不妨从一个具体的二次函数入手来研究。
【问题3】你能将二次函数2
-2yxx+2写成抛物线的标准方程的形式吗？
（学生尝试：2
2
-2+2=11yxxx，不是抛物线的标准方程的形式。）
【问题4】那么如何说明它的图像是抛物线呢？
（请学生合作讨论，并提出解决方法。
生：图像平移变换2
122
-2+2=1+1yxxxyx向右平移个单位向下平移1个单位
； 教师可引导学生用向量平移表示图像的平移变换：
2
22
-2=11MOyxxxyx,-1,1MO。
因为函数2yx的图像是抛物线，所以函数2
-2+2yxx的图像也是抛物线。）
【过渡】我们能否将上述过程一般化，从已知的二次函数2
yax0a是
抛物线这一结论出发进行探究呢？
【探究1】函数2
yax
0a与函数2+bx+c0yaxa的图像间有何关
x
y
y = x2 2∙x + 2
1
2345–1
–2–3
12345
–1
–2
–3
–4
O
A
4
系？由此，你可以得到怎样的结论？
（请学生自主探究，并相互交流探究过程，并请某生展示推导过程。
生：二次函数2
22
24=24MObacbyaxbxcaxyaxaa
，其中24,24bacbMOa
a。因为二次函数2
0yaxa的图像是抛物线，
所以二次函数2+bx+c0yaxa的图像也是抛物线。）
【问题5】在上述探究过程中，我们发现：当00bc或时，二次函数
2+bx+c0yaxa不能写成抛物线标准方程的形式，产生这一现象的原因是
什么呢？
（学生说明：当b或c不等于0时，二次函数2+bx+c0yaxa的图像的顶点不在坐标原点，所有解析式不能写成抛物线的标准方程的形式。）
【探究2】能否由此现象出发，另辟蹊径，说明为什么二次函数
2+bx+c0yaxa的图像是抛物线？
（请学生合作探究完成。
生：以二次函数2+bx+c0yaxa图像的定点为坐标原点O，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，在此坐标系下，二次函数的解析式可写成
20yaxa，其为抛物线标准方程的形式，所以二次函数
2+bx+c0yaxa的图像是抛物线。）
x
y
y = a∙x2
y = a∙x2 + b∙x + c
1
2
3
4
5
–1
1
2345
–1
–2–3O拖动
5
【拓展】尝试确定二次函数2+bx+c0yaxa的图像上的定点和定直线，利用定义说明二次函数2+bx+c0yaxa的图像是抛物线。
（请学生自主探究，学生提出方案：利用抛物线定义，找出定点F和定直线l,使得二次函数图像上的点满足抛物线的定义。请学生展示做法：
生：从坐标平移的角度，由20yaxa的焦点坐标及准线方程，写出二
次函数2
+bx+c0yaxa图像上对应的点241,24bacbFaa
，及直线l
241
:4acblya，在二次函数2+bx+c0yaxa的图像上任取一点,Mxy，
检验MlMFd。） 3.课堂小结
【思考】在本节课的探究过程中，运用了哪些数学思想和方法？
（请学生发言，并相互补充，教师点评即可.教师可适当总结本节课所应用的数学思想与方法.）
【设计意图】通过对所学内容进行小结，使学生对本节内容有一个更全面的认识. 4.课后作业：
【思考】还有其他方法说明二次函数2+bx+c0yaxa的图像是抛物线吗？
【设计意图】巩固知识，升华方法，让学生带着问题回去，有利于学习的可持续性发展。
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