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视频课题：高一数学人教A版必修四第一章阅读与思考1.2任意角的三角函数-新疆省级优课
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1.2任意角的三角函数
教材分析
本节课为《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时.在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角三角函数等于相应边长的比值.随着本章角的概念的推广和引入弧度制后，将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了.任意角在直角坐标系中有了“形”的定位，这一节给出从形到数的定义.任意角的三角函数是研究一个实数集到另一个实数集的对应关系，认识它要借助于单位圆的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想.
学情分析
学生已经掌握的内容及学生的学习能力： 学生已经学习了基本的锐角三角函数的定义，已经具备一定的自学能力。但在探究问题、合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强.结合教学内容以及学生的认知结构，本节课采用教师引领、学生思考的方式，逐步使学生完成从直角三角形中定义锐角三角函数到任意角的三角函数的定义的建构过程.
教学目标
（一） 知识与技能
1. 掌握任意角的三角函数的定义
2. 已知角终边上一点，会求角的三角函数值 3. 三角函数的定义域 （二） 过程与方法
1．借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义 2．正确理解三角函数是以实数为自变量的函数
3．通过对定义域的推导，提高学生分析、解决问题的能力 （三） 情感、态度与价值观
1．使学生认识事物是有联系的，体会特殊到一般的过程
2．感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，学习转化的思想，培养学生一丝不苟的科学精神
重点：任意角的三角函数的定义
难点：任意角的三角函数的定义的建构过程 教学设计
一、创设情境，提出问题
我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型之一.客观世界中存在着大量循环往复、周而复始的现象.例如，圆周运动，那么它的变化规律用什么函数模型描述呢？这就是我们今天要学习的内容：任意角的三角函数.
问题1：在现实生活中有很多这样的周而复始的循环现象，同学们能举出一些例子吗？
学生回答：钟表，摩天轮，转动的车轮等.
中国的二十四节气反映了一年天气的周期性现象. 它是太阳的位置和季节的交替之间的内在的联系.太阳从黄经零度起，每运行15度经历一个节气，一年运行360度，共24节气.古人发现阳光下的影子的变化规律：夏至时，影子最短；冬至时，影子最长.古人利用直立的杆子和杆子的影子进行测量.直立的杆子和杆影正好构成一个什么三角形？直角三角形 【设计意图】 从实际生活中发现周期性现象，让数学生活化.反映周期性变化又从中自然引出学生已经学过的知识.
二、 联系旧知,问题导入
问题2：在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
在tRPOM中：b
a
cbcatan,cos,sin
【设计意图】从原有的认知基础出发，为用坐标定义锐角三角函数作准备.
问题3：在直角坐标系中，如何用角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数？
【设计意图】引导学生用坐标法来研究锐角三角函数 如图，把POM的顶点放到坐标原点，使OM
和x轴非负半轴重合，则POM的终边为射线OP,且点P的坐标为),(yxP，rOP为
在tRPOM中，记=POM，则：
x
y
rxry
tan,cos,sin 这样，我们就用角终边上点P的坐标表示出了锐角的三角函数.
问题4：如果改变点P在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
【设计意图】说明这三个比值与终边上点的位置无关 师生活动：教师先引导学生在终边上移动点P 到另一个位置，然后让学生分组讨论，得到结果
如图，在终边上将点P移动到点'P，做''
PM与x
轴垂直于'
M点，则'
POMPOM∽, 因此，
x
y
O
P(x,y)
M
O '
P
'
MM
P
y
x
=MPOP=sinMPOP，=OM
OP
=cosOMOP，=MPOM=tan.MPOM 这说明，角的三角函数不会随着点P在终边上位置的改变而改变.
三．层层设问,不断探究
问题5：能否选取适当的P点而将表达式简化？
师生活动：教师引导学生进行对比，学生通过对比发现当点P与坐标原点距离 为1时可以将表达式简化.
【设计意图】体现单位化思想，并为引出单位圆奠定基础
在角的终边上，若将点P选在使1OP的位置上，此时点P在单位圆（以坐标原点为圆心，以单位长度为半径的圆）上，则：
)0(tan,cos,sin
xx
y
xy 显然sin,cos的表达式简化了. 这样我们就利用单位圆上点的坐标定义了锐角三角函数.
探究:如果是一个任意角,能否用单位圆上点的坐标表示任意角的三角函数?
锐角是任意角的一种简单形式,在直角坐标系中可以用单位圆上点的坐标来表示任意角的三角函数.
【设计意图】 在直角坐标系中,角的终边绕原点旋转,可以很好地体现角的周而复始的变化规律.这种坐标表示方法不再受三角形的局限,可以推广到任意角,这样就得到了任意角的三角函数定义.
任意角的三角函数的定义：[来源:学_科_网] 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
x,Py，那么：
(1) y叫做的正弦，记作sin，即sin=y. (2) x叫做的余弦，记作cos，即cos=x. (3)
y
x
叫做的正切，记作tan， 即tanx.y
x
（0）
P(x,y)
O x
a的终边
y
O
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们统称为三角函数. [来源
:学
问题6：既然是函数,对于一个函数首先要研究什么?定义域
师生活动：探究三个三角函数的定义域.
sinα的定义域是R， cosα的定义域是R， tanα的定义域是{α|α≠
2
+kπ,k∈Z}. 【设计意图】建立了角的弧度制,角的集合与实数集对应,引导学生用弧度制表示三角函数的定义域,揭示函数本质.
问题7：我们求任意角的三角函数,实质是在求什么?
实质为求角α的终边与单位圆交点的坐标或坐标的比值.
四．例题讲解,变式练习
例1 求5
3
的正弦、余弦和正切值
分析：关键是作角5
3
，进而写出与单位圆交点坐标，利用定义求解.
解：在直角坐标系中，作 53
AOB
，易知AOB 的终边与单位圆的交点坐标为 13
(,
)22
.所以，
53sin,32
51cos,32
5
tan3.3
【设计意图】 让学生学习如何利用定义求不同情况下函数值的问题，进而加深对定义的理解，加强定义应用中与图形的联系，体会数形结合的思想. 变式：若把角53改为
7
6
呢? 课本15页 练习1：利用三角函数的定义求
6
7
的三个三角函数值. 答案：71sin
,6273cos,6273tan63
o
B
x53
y (1,0)A
【设计意图】：练习1与例题衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征探究三角函数的有关问题的思想方法. 例2 已知角的终边经过点0(3,4)P，求角的正弦、余弦和正切值. 分析：利用相似三角形将任意点转化到单位圆上点，然后利用定义求值. 解:由已知可得5)4((-3)|OP|220
设角的终边与单位圆交于点(,)Pxy 分别过点P、0p作x轴的垂线MP、0MP，则 004MP，MPy
03OM，OMx
OMP∽00OMP，
于是 54
||1sin0
00
OPPMOPMPyy； 003
cos15
OMOMxxOPOP
sin4tancos3
yx
【设计意图】将任意点转化到单位圆上的点，应用定义解题，巩固对定义的理解，培养转化思想和数形结合思想.
思考：一般的，设角终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r,则
sin,cos,tanyxy
aaarrx
，你能自己给出证明吗？ 【设计意图】让学生掌握三角函数的另一种定义，可由角终边上任一点确定三角函数值.
【设计意图】 通过定义的应用，让学生了解三种定义域及函数值在各象限的符号的变化规律，并从中进一步理解三角函数的概念，体会数形结合的思想. 练习：课本15页练习2
五．课堂小结,感悟升华
通过本节课的学习,你有哪些收获和体会? 学生回答
1．知识：任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域；
2．思想：化归转化的思想、数形结合的思想、特殊到一般的思想.
o
x
y
(,)
Pxy(,)Pxy
0(3,4)P (,)
Pxy0M (,)PxyM
(,)Pxy
【设计意图】 培养学生及时梳理，系统总结新知的习惯，掌握知识点的联系和思想方法的灵活运用.
作业：课本20页 习题1.2 A组 1、2题
板书设计
1.2.1任意角的三角函数
一、引入新课
锐角三角函数坐标化 二、探究新知
1.任意角三角函数的定义 2.探究三角函数定义域
三、运用新知
1.利用定义求三角函数值 例1 变式
例 2 练习
教学反思
上述教学设计及具体教学实施过程后反思如下：
1．教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。很好地融合初中三角函数的定义引入在直角坐标系中，将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，能够揭示函数的本质。 2．本教案的亮点是新知引入.为了突破任意角三角函数定义这一难点，教学中在直角坐标系中先用锐角的终边上任一点坐标表示三角函数，再特殊化到用角终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数，在此基础上定义任意角三角函数。揭示了新旧知识的内在联系，符合学生的认知特点.
3．通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
