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视频课题：高中数学人教A版版选修2-3 1.2.2《组合》山东省优课
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高中数学人教A版版选修2-3 1.2.2 《组合》山东省优课
选修2-3 1.2.2 《组合》教学设计
一、复习引入：
1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，
在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，„„，在第n类办法中有nm种不同的方法那么完成这件事共
有 12nNmmm种不同的方法
2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，„„，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm 种不同的方法
3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号m
nA表示
5．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（
,,mnNmn
） 6阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1．
7．排列数的另一个计算公式：mnA=!
()!nnm
8.提出问题：
示例1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
示例2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引导观察：示例1中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例2只要求选出2名同学，是与顺序无关的引出课
题：组合．
二、讲解新课：
1组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一
组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
例1．判断下列问题是组合还是排列
（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
（2）高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？ （3）从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？
（4）10个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10个人互通电话一次，共多少个电话？
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号m
nC表示．
3．组合数公式的推导：
（1）从4个不同元素,,,abcd中取出3个元素的组合数3
4C是多少呢？
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素
的排列数34A可以求得，故我们可以考察一下34C和3
4A的关系，如下：
组 合 排列
dcbcdbbdcdbccbdbcdbcd
dcacdaadcdaccadacdacd
dbabdaadbdabbadabdabdcbabcaacbcabbacabcabc,
,
,
,
,
,,,,,,,,,,,,,,
,
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不
同元素中取出3个元素的排列数34A，可以分如下两步：① 考虑从4
个不同元素中取出3个元素的组合，共有3
4C个；② 对每一个组合的
3个不同元素进行全排列，各有33A种方法．由分步计数原理得：34A＝3
4C33A，所以，
3
33
4
34
AAC． （2）推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，
可以分如下两步：
① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数m
nC；
② 求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：m
nA＝mnCm
mA．
（3）组合数的公式：
(1)(2)(1)!mmnn
mmAnnnnmCAm
或
)!(!!
mnmnCmn
),,(nmNmn且
规定: 01nC.
三、讲解范例：
例2． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．
解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出 n 人组成上场小组，共有11
17C种选法； 第2步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有1
11C种选法．
所以教练员做这件事情的方法数有
111
1711
CC=136136（种）.
例3．（1）平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？
(2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？
解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有
2
10
109
4512C
（条）.
(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有
2
1010990A（条）.
例4．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？
(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？
解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有
3
100
1009998
123C
= 161700 （种）.
(2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有12C种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有2
98C种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件
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