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视频标签：平面向量基本定理
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视频课题：北师大必修四第二章第三节3.2《平面向量基本定理》陕西省 - 咸阳
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北师大必修四第二章第三节3.2《平面向量基本定理》陕西省 - 咸阳
《平面向量基本定理》教学设计
一、教材分析
1．地位和作用
本节课是位于北师大版高中数学必修四第二章第三节第2课时的内容—平面向量基本定理.此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征，本节要讲的 “平面向量基本定理”是研究向量的正交分解和向量坐标运算的基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态.通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题的完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位. 2.教学目标
1）了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底来表示平面中的任一向量. 2）通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力. 3）用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神，发展学生的数学应用意识. 3.教学重难点
重点：平面向量基本定理的探究生成过程
难点：利用定理将平面向量分解及对这种分解唯一性的理解 二．教法与学法
为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我设计了一系列的“问题串，在问题驱动下，采用教师启发引导学生自主探究的模式完成了教学任务，并借助多媒体和几何画板等工具辅助教学. 三．课堂结构设计
我把教学结构设计为七个阶段：
例题练习、巩固新知
归纳小结、深化认知
思考交流、构建概念
定理点拨、加深理解
复习回顾、创设新境 问题驱动、探究新知
四、教学过程设计 1．复习回顾 创设新境 （1）复习旧知
○
1向量加法的平行四边形法则 ○
2数乘向量的概念 ○
3向量共线定理的内容 （2）实例分析
实例1：平抛运动中，每一时刻的速度的分解 实例2：在斜面上静止的物体所受重力的分解
【设计意图】：从矢量分解渗透分解的平行四边形法则（即分解的本质是以被分解的对象为对角线做平行四边形） 2.问题驱动、探究新知
问题1：给定平面内不共线两个向量 ,如何求作向量 和 ？ 【设计意图】：利用向量的加减法和数乘向量，利用平行四边形法则可以表示某个向量，为向量的线性表示打下基础． 问题2:是否平面内每一个向量ar都可以分解成两个不共线向量？分解唯一吗？ 【设计意图】：通过做平行四边形的多种表示方法说明同一个向量表示的不唯一性。
问题3：给定平面内两不共线向量 ，ar
是平面内的任一向量，它能否沿 所在直线分解？唯一吗？（同起点、做直线、做平行线，找交点）
【设计意图】：在 确定的情况下，平行四边形可做说明可分解，由向量共线定理说明表示的唯一性，即平行四边形的确定性.
问题4：1212,,,,,OAeOBeOCaOMONeeuur
uruur
uruuur
r
uuuruuur
urur
在上图中，设则向量分别与的关系如何？
12,aeerurur
从而向量与的关系如何？
问题5：121212,,,,eeaeeururrurur
若上述向量都为定向量且不共线，则实数，是否存在？
是否唯一？
【设计意图】：根据分析尝试初步形成定理.
教师几何画板演示任一平面向量在一组不共线向量下的唯一分解。
问题6：根据上述分析,平面内任一向量ar
都可以由这个平面内两个不共线的向
量 表示出来，从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗？
12,eeurur1223eeurur12+2eeurur
12,eeurur12,eeurur12,eeurur
12,eeurur布置作业、巩固提高 课后反思
3. 思考交流、构建概念
平面向量基本定理：
如果21,ee是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，存在唯一一对实数21, ，使2211eea。 把不共线的向量21,ee叫向量a的一组基底.
4.定理点拨、加深理解
问题7：在定理中，为什么要求向量21,ee不共线？0r
可以作为基底吗？
问题8：若向量a与1eur或2eur共线，a还能用1122eeurur
表示吗？
问题9：若定理中的=0arr
,能用基底21,ee表示吗?
【设计意图】：通过问题7，8,9，教师点拨，引导学生深入理解定理. 请同学们勾画出概念中的关键词，并对定理加以说明．
① 21,ee作为基底不共线，不唯一.
② 12,,eeaururr
都为定向量，则实数21,唯一确定.
③ 11120aeaeerurrururP
21200aeaeerurrururP 12000aaeerrrururP 5.例题练习、巩固新知 练习1．判断正误．
(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底．( )
(2)若21,ee是同一平面内两个不共线向量，则1122eeurur
(12，为实数)可以表示该平面内所有向量．( )
(3)若1212(,,,),,.aebecedeabcdRacbdurururur
则 ( )
()()abxyxyaxybab2342363rrrrrr
练习．已知向量与是一组基底，实数，满足－＋－＝＋， ________xy则－＝．
[设计意图]:加深学生对平面向量基本定理的理解。 6．归纳小结、深化认知
本节课的学习，你学到了什么？体验到了什么？掌握了什么？
(1)通过定理，学习平面内任一向量a都可以表示为两个不共线向量的线性组合,体现了由特殊到一般的归纳概括能力的要求。
(2)通过定理掌握了基底一定，向量表示唯一的辩证统一思想，有序实数对),(21与向量a 一一对应思想体现数学的简洁美，为后继课程学习打下了基础。
7、布置作业、巩固提高
作业：课本87页第1、2、5、6题。 8、课后反思
本节课通过实例分析，通过“问题串”形式的一系列设问，能较好的分散教学难
点。突出教学重点。但在定理说明的第3点中，针对12000aaeerrrurur
P没有及
时举例说明，在练习1判断正误题中，对第（3）小题的处理欠妥，没有很好的抓住举例机
会，也说明对12000eerurur
的理解还不到位，下次教学中需改进。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
