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视频标签：三角函数模型
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视频课题：人教B版必修四《三角函数模型的简单应用》广州
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人教B版必修四《三角函数模型的简单应用》广州
三角函数模型的简单应用教学设计
一、教材分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用。通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力。培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力。由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合，以及利用计算机或手机作图软件对实际函数图像进行分析解决实际问题。
二、设计目的
（一）落实深度教学的无边界学习的五个层次：
从深度教学的视野看，无边界学习注重的引导学生通过符号知识的理解，实现知识和学习对于学生成长的五个层次。包括：1、科学认知；2、技术体验；3、社会参与；文化觉醒；5、生命体悟。其中技术体验是有符号学习走向应用、走向问题解决的重要阶段，其本质是应用学习（applied learning），尤其是在开放情境中借助一定的手段和条件解决复杂问题的应用学习。 （二）研究新课标下的高一数学教学 新课标要求：
1、学生整体把握课程内容，根据内容主线按主题/单元设计教学活动，以问题解决为主，将数学建模和数学探究活动作为落实发展学生数学核心素养目标的重要途径。 2、把握数学知识的本质，注重学生认知的过程。
3、突出学生为主体，构建“学习共同体”，注重学生学习体验。 4、感悟数学思想，积累思维的经验，形成和发展数学核心素养。 （三）研究信息技术可视化教学手段与学科融合的教学模式
在实际应用中由于数据会比较复杂，要鼓励学生使用信息技术手段帮助解决。本课时数形结合思想突出，利用信息技术可视化手段解决实际问题是有必要的。选取一种直接、快捷、操作简单、一般课堂都可使用的可视化手段更是必须的！现在，智能手机软件已经比较普及，手机学习成为趋势！手机作图可视化既操作简单，不会因为操作问题而影响数学研究，能突出数学特点和本质！也不会因此而把数学课上成了信息技术课。故此，研究手机作图辅助教学也是有必要的。
三、教学目标
1.体验实际问题抽象转化为三角函数模型问题的过程和思想，学会用数学眼光分析问题、解决问题；
2.通过建立模型，体会由图写式，由式又回到图中生成答案的这种数形结合的思想； 3.使用函数与方程的思想解决函数交点问题，并用二分法找出函数的零点；
4.使用excel、GeoGebra使三角函数问题可视化，并解决实际问题。
四、教学重点和难点
教学重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题。
五、教学手段及工具：U型教学模式、Excel、GeoGebra、手机、电脑、投影
π
y=2.5sinx+56
六、教学过程及设计意图 教学环节
教学设计 设计意图
创
设 情 境 ， 揭 示 课 题 三角函数在我们生活中经常出现，不知同学们有没有留意？能否举出一些例子？（学生随意举，然后老师也给出例子）
引例：
最近发现某股票的K线图在9月3日—11月3日间呈正弦波上下摆动。假如你是证券分析师，你会怎么分析这张图，预测下一波行情的买入时间和卖出时间估计会在哪天？（股票小技能：低买高抛）
让学生在熟悉的问题情景中进入课题，能充分激发学生的学习热情和兴趣。
启发学生透过生活现象看清数学本质。把三角函数图像知识还原下沉，让学生消化分析。
模型探究 ： 潮汐对船入港口的影响
例1 在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表。假如你是船长，你会怎么安排你的船只进码头的时间呢？
问题探究1: 仔细观察数据，画出散点图。选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系？（引导学生作出散点图找关系） 解：以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在直角坐标系中描出各点，并用平滑的曲线连接。根据图象，可以考虑用函数y=Asin(ωx+φ)+h刻画水深与时间的关系。 （学生看图设出函数关系式，并看图求出参数） A=2.5,h=5,T=12,φ=0
通过引导学生去除生活表征，作出散点图，感
受生活问题数
学化，数学问题
形象化的方法。 教师使用信息技术可视化手段excel散点图拟合模型。
加强看图写表达式
0 2 4 6 8
0 5 10 15 20 25 30
y（水深）
2
1
6sin³xpπ
y=2.5sinx+5
62ππ T==12,ω=.
ω6由得
所以,港口的水深与时间可用(0≤x≤24)的关系近似描述.
问题探究2：一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4米,安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙 (船底与洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? 法一：（计算）货船需要的安全水深为4+2.25=6.25(米),因为实际水深≥安全水深，所以当y≥6.25时就可以进港 . ≥6.25
1+12k≤6
x
p≤5+12k kÎZ
因此,货船可以在1时左右进港,早晨5时左右出港;或在中午13时左右进港,下午17时左右出港.每次可以在港口停留4小时左右. 法二：（数形结合）展示GeoGebra作图：
问题探究3：若某船的吃水深度为4米.安全间隙为1.5米,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减少,那么该船大约什么时间范围内必须停止卸货,将船驶向较深的水域? 实际水深≥安全水深
设在时刻x货船的安全水深为y,那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2).在同一坐标系内作出这两个函数,可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点.
（引导学生自己列式思考，并使用GeoGebra作图解决）
在了解港口水深与时间关系后，加入船要进港的实际应用。加强学生数学应用能力。
分析清楚实际水深与安全水深的关系后，实际问题转化为解三角函数不等式的问题。
并通过软件作图进一步分析解决，把三角函数的解答还原到实际问题中。
探究3由学生小组探究，选派代表展示探究结果（构建学习共同体，重视学生学习体验）
根据实际，船由于卸货，吃水深度不会是一个不变的值。设置一个吃水深度的减少速度更符合实际，让学生更深入思考实际水深与安全水深的关系。
问题探究4：早了货卸不完，晚了还是有安全隐患。能否明确具体是离开时间点呢？（引导学生使用二分法思想解决方程近似解的问题）
因此为了安全,货船最好在6.5时之前停止卸货,将船驶向较深的水域。
由于数据更符合实际，在计算和作图上变得复杂。鼓励学生使用信息技术手段解决问题。
小结归纳，提炼思想
函数建模的思路：以上问题的解决，我们使用了数学建模的思想。请问生活中我们如何建模？
解决问题过程中我们使用了哪些思想方法？
转化思想、数形结合思想、函数与方程思想、二分法思想 提升训练， 迁移转化
练习： 1.根据心理学家研究表明，人的情绪和思维会成周期性变换。为了能在高考中调整出最好的状态，临高考前的3月小王对自己做了情绪记录跟踪。发现自己3月初的情绪值为45，第5天为60，第10天为45，第15天为30，第20天为45，如此类推。如果情绪值低于52.5，则不适宜参加大考，问按照这样的情绪管理，小王在6月7、8日适合高考吗？ 法一：
法一：（计算）解：以天数为横坐标，情绪值为纵坐标作出散点图，可分析图像满足y=Asin(ωx+φ)+h函数
求得A=15,ω=10
p
，φ=0，h=45
变式提升训练，重视知识应用的广泛性、新颖性和实用性，更贴近学生生活，提升学生研究的兴趣。
0 20 40 60 80 0
5
10
15
20
25
y （情绪值）
令5.524510
x15siny<+=p ，
3
1123
32884kk203
130k20352<<=Î+<<+xZ
kx时，当， 从3月1日开始算，6月7、8日刚好是第99、100天。情绪值刚好在不
适合高考的范围内。
法二（数形结合法）：求出函数表达式后，并计算出6月7、8日刚好是第99、100天。然后用GeoGebra作图，由图可知，如果按照这样的情绪管理，小王在6月7、8日不适合高考。
法三（估算法）：因为6月7、8日刚好是第99、100天，8号就是第5个周期。故此，其情绪值也应该在45左右。故此，不适合高考。
追问：为了有好的情绪值迎接高考，小王从4月1日开始调整情绪值。若调整后周期长度不变，请问小王调整期最快什么时候结束？
因为T=20,4月1日距离6月7、8日还有68、69天。
根据周期函数性质，最快能结束的时间是距离6月7日的60天前，即3个周期前把情绪值调整到52.5以上。
3个周期前对应的日期是4月8日。
故此，调整期最快会在4月8日结束，即有8天的调整期。
2. 心脏跳动时,血压在增加或减少,血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg 为标准值。设某人的血压满足函数式 p ( t )=115+25sin（160pt） ,其中 p ( t )为血压( mmHg ), t 为时间( min ),试回答下列问题: (1) 求函数 p ( t )的周期; (2) 求此人每分钟心跳额次数; (3) 判断此人的血压是否正常。
解析：(1)由于 w =160丌,代入周期公式 T= 80
11602|
|2==
ppwp
( min )所以函数 p ( t )的周期为
80
1
min (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率 f=1/T=80(次)；（3）由函数式计算可得此人的收缩压140mmHg,舒张压为90mmHg。此人血压偏高。
3.交流电的电压 E (单位:伏)与时间 t (单位:秒)的关系可用E=
)6
100(sin3220p
p+
t来表示.求:(1)电压值重复出现一次的时间间
隔;(2)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
解析：（1）T=)(501
1002s=pp，即时间间隔为0.02s.
(2)电压的最大值为V3220，当s300
1t,2
6t100=
=
+即p
p
p第一次取得最大值。 收获 与分享
收获与分享: 这节课我们利用数学中的三角函数处理了实际生活中的股票、货船进出港问题等实际问题，这只是三角函数在实际生产、生活中应用的“冰山一角”，希望大家在学习的过程做个有心人，学会用数学的眼光去看待身边的一些自然和社会现象，同时并努力去尝试用学过的数学知识处理一些实际问题。
七、教学反思： 优点：
1、教学目标明确，教学重点突出，能通过教学软件不断引导学生发现问题解决问题。 2、学生为主体，参与度高。
3、整节课以解决“一类题”为主线，通过变式，不断提升问题的层次。
4、凸显数形结合、函数与方程、转化与化归、二分法等数学思想，有效提高学生数学方面的核心素养。
存在问题：
1、 对于模型的选取，可以考虑更多的拟合模型，让学生体会运用数学模型解决问题并不是唯一，但存在“最优化”。
2、 GGB软件的选取虽然能提升学生的动手解决问题的能力和直观分析的能力，但还可以考虑进一步思考用哪些软件更能辅助本节课模型的选取探究。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
