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视频标签：二项式定理
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视频课题：高中数学苏教版选修2-3第1章1.5.1 二项式定理_江苏省- 昆山
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高中数学苏教版选修2-3第1章1.5.1 二项式定理_江苏省- 昆山
教学目标
1.知识与技能：
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法：
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．
3. 情感、态度与价值观：
培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．
2学情分析
本班学生是高二理科班中比较优秀的，接受能力较强。对排列组合知识的掌握也比较到位，课堂上能接好的配合老师，对较难问题的解决也有一定的突破能力。
3重点难点
重点：用计数原理分析 的展开式，得到二项式定理．
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【练习】（一）提出问题，引入课题
在n=2,3,4时，研究(a+b)n的展开式.
(a+b)2= ,
(a+b)3= ,
(a+b)4= .
那么 的展开式是什么？
【设计意图】把问题作为教学的出发点，直接引出课题．激发学生的求知欲，明确本课要解决的问题.
活动2【练习】（二）引导探究，发现规律
展开式的再认识
探究1：不运算 ，能否回答下列问题（请以两人为一小组进行讨论）：
(1) 展开式中有哪些不同的项？
(2) 各项的系数为多少？
(3) 从上述两个问题，你能否得出 的展开式？
探究2：仿照上述过程，请你推导 的展开式.
因为 展开式的各项都是 次式，
即展开式应有下面形式的各项： ， ， ， ，
展开式各项的系数：上面 个括号中，每个都不取 的情况有 种，即 种， 的系数是 ；恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，有 个都取 的情况有 种， 的系数是 。
【设计意图】通过几个问题的层层递进，引导学生用计数原理对 的展开式进行再思考，分析各项的形式、项的个数，这也为推导 的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．
活动3【活动】(三) 形成定理，说理证明
探究3：仿照上述过程，请你推导 的展开式．
⑴ 的展开式的各项都是 次式，即展开式应有下面形式的各项：
， ，…， ，…， ，
⑵展开式各项的系数：
每个都不取 的情况有 种，即 种， 的系数是 ；
恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，……，
恰有 个取 的情况有 种， 的系数是 ，……，
有 都取 的情况有 种， 的系数是 ，
∴ ，
这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫 的二项展开式，
【设计意图】通过仿照 、 展开式的探究方法，由学生类比得出 的展开式．二项式定理的证明采用“说理”的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析，概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．
活动4【测试】(四) 熟悉定理，简单应用
二项式定理的公式特征：（由学生归纳，让学生熟悉公式）
1. 项数：共有 １项.
2. 次数：字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n．
各项的次数都等于n．
3. 二项展开式的通项: 式中的 叫做二项展开式的通项. 用 表示.
即通项为展开式的第 １项: =
4. 二项式系数: 依次为 ，这里 称为二项式系数. 5.二项式定理中，设 ，则
应用1 利用二项式定理展开下列各式：
（1） （2） .
应用2 在 的展开式中，求：
第4项的二项式系数；
含 的项的系数.
应用3 求 的二项展开式中的常数项.
【设计意图】熟悉二项展开式，培养学生的运算能力．
活动5【active.type.pj】(五) 课堂小结，课堂练习
小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）
公式：
思想方法：1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.
练习
1、展开
2、求 的展开式中的倒数第 项
解： 的展开式中共 项，它的倒数第 项是第 项，
．
3、已知 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项
解：由题意： ，即 ，∴ 舍去）
∴
①若 是常数项，则 ，即 ，
∵ ，这不可能，∴展开式中没有常数项；
②若 是有理项，当且仅当 为整数，
∴ ，∴ ，
即 展开式中有三项有理项，分别是： ， ，
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