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视频课题：高一新教材第三章第三节《函数的应用（一）》辽宁省 - 大连
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高一新教材第三章第三节《函数的应用（一）》辽宁省 - 大连
《函数的应用（一）》教学设计
一、教材的地位和作用
本节课是高一新教材第三章第三节《函数的应用（一）》，前两章已经学会了一些有关初 等函数的知识，本节函数的应用要引导学生对现实问题进行数学抽象，体现用数学语言表达 问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。函数贯穿于整个高中数学学习的始终，是高中
数学的重要思想和支撑高中数学的主干知识。2017 年《普通高中课程标准》提出学生通过
高中数学课程的学习，能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与 现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科
学、社会、工程技术诸多领域的作用。 二、课型：新授课 三、学情分析
学生已经学习了函数的概念、图像和性质，他们对函数有了初步的了解和认识。同时学生对一次函数、二次函数、反比例函数、取整函数等初等函数的研究有了直接的经验。 四、教学目标
知识目标：会对一些简单的实际问题建立两个变量间的函数关系式，并能确定函数的定义域；
能力目标：经历从现实问题中确定变量、探寻关系、建立模型计算系数、分析结论的全过程，形成和发展数学建模素养。
情感目标：体验用数学的眼光看世界的过程，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物。
五、教学重难点
教学重点：将实际问题转变成数学问题，结合数学模型分析案例；教学难点：分析数据预测规律，用数学的语言表达案例； 六、数学核心素养 数学抽象、数学建模、数据分析；七、教法分析
本节课采用问题驱动式的教学方法。在教学过程中的设问、点拨、启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究、相互交流来达到对新知识的发现和接受。 八、教学过程
根据新课标的理念以及数学核心素养的要求，我把整个的教学过程分为五个阶段，即：
1. 情景设置，提出问题； 2. 学生建模，阐述方案； 3. 师生讨论，比较方案； 4. 自主探究，归纳性质；
5. 巩固落实，灵活运用。
教学过程 设计说明
教学时间
分配
一、课堂导入
通过多媒体播放视频，
视频 1：马云创立数学建模大赛
展示生活中的新闻人物 视频 2：马云自己对数学重要性的认识
对数学的观点和做法，
使学生认识到数学的重
引例：周末，我与朋友前往必胜客餐厅就餐，结 要性，认识的数学与我 账时，店家推出两种优惠政策： 们的日常生活息息相 （1）可以登录美团，团购 “85 元抵值 100 元”该 关。
餐厅的抵值券，结账；
（2）可以现场结单，享受全款九折优惠
通过问题引入，引 但团购用户不可同时享受商家其他优惠（不考虑凑单 发学生的思考，利用所 情况）
学函数的思想，建立数 请同学们探究一下哪种结账方式更省钱？ 学模型，激发学生的学 学生活动：用投影仪展示自己作图成果
习欲望。能够运用数学 建模的一般方法和相关 知识，创造性的建立数 学模型，解决问题。 1. x，y 是什么含义？ 2. 取整函数图像怎么 画？
3. 如何通过图像比较 引例 哪种方式更优惠？
15min
讨论讨论
1.能够运用数学语言清
5min 晰、准确地表达数学建 模的过程和结果，解决
现实生活中的问题；
2.会对一些简单的实际
问题建立两个变量间的 函数关系式，并能确定 函数的定义域；
3.能够在熟悉的情景中， 发现问题并转化为数学 问题，知道数学问题的
价值与作用。
4.从事物的具体背景中
抽象出一般规律和结
构，并对数学语言予以
表征。
5.养成在日常生活和实 践中一般性思考问题的 习惯，把握事物的本质，
以简驭繁。
探究一：
一次演唱会的盈利额 P 百元与票数 n（n 为非负整数）张之间的关系满足下图所示的函数关系（其中保险部门规定：人数超过 150 的时候，须缴纳公安、保险费 50 百元）。请写出它的函数表示式；并对其图像加以解释。
师生活动：
教师：投影例题，先让学生分组讨论。 学生：分组讨论。
教师：让一名学生黑板展示讨论结果
教师加以点播，评价，引导同学们从不同角度分析图像：可以得到不同的解释。
（1）当售票数为 0 时，舞场正常开放，要支付水电
费，器材等场地费 20000 元
（2）当售票数 n = 100 时，可达到不赔不赚，
n < 100 时，要赔本；
（3）当100 £ n £ 150 ，利润随售票数的增加呈直线上升， n = 150 时，达到最大值10000 元； （4）当150 < n < 167 ，利润没有 n = 150 时多
（5）当人数达到 200 人时，利润可达到最大值 20000 元
1.能够选择合适的数学模型表达所要解决的数学问题；理解模型中参数的意义，知道如何确定参数，建立模型，求解模型；能够根据问题实际意义检验结果，完善模型，解决问题，形成和发展数学建模素养； 2.在交流的过程中，能够通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象；
3.体验用数学的眼光看世界的过程，初步学会用函数的观点去观察和分析客观事物。
4.通过探究一的学习，培养学生能提升获取有价值信息并进行定量分析意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实世界的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；
合作探究
10min
教学反思
本节课从生活中的实例出发，设计了关于函数的应用这节课。这节课设计参考了新课标的课程理念，数学学科的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析。而函数的应用体现了数学建模的思想。另外，2018 年高考 18 题，利用统计知识的应用题，命题人出了用数学的语言描述那个模型好这样一个开放性试题，很多学生不知如何去表述。所以，通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联就很有必要。用马云的数学执念，让学生认识到学习数学的必要性和趣味性，明白学习数学的意义所在。有一个好的数学思维对今后步入社会都是很有必要的。从引例出发，让学生探究餐厅消费哪种支付方式最省钱？这就是学生身边的例子，从事物的具体背景中抽象出一般的规律和结构，并用数学的语言予以表征，符合学生的认知规律。从音乐会门票票价问题，再到草莓种植户生产问题，无不关系到我们日常生产生活。数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。引导学生用数学的语言表述世界，用函数的思想分析问题。
课后延伸
数学文化 马云的数学执念
马云在 2018 年 9 月 10 号教师节这天宣布退休，从此成为乡村教师的代言人。首先阿里巴巴搞事情一般砸了上百万奖学金举办了一个全球数学竞赛：阿里巴巴全球数学竞赛，应用与基础相结合，既考察数学能力又考察实际问题的理解和解决能力，世界数学大师亲自指导，并有机会与大师一起解决世界级难题。
那么这里的世界级数学大师都是哪些呢？从这次的评审的评委可见一斑，光中科院院士就有 3 名，还有北大扫地僧张益唐等。入围决赛的奖励不光是每人 2 万美金，还有冬季大师班的门票。就在 9 月 19 马云作为杭州延安中学高一数学课代表邀请了全球 11 位大师级数学家在杭州补习数学课。马云表示，阿里巴巴支持数学是因为它与未来、与全球人类密切相关。“数学应该成为年轻人的基础，就像运动数学一样。如果数学基础坚实，人类会坚实。”
其实话外音很明显，为阿里巴巴的达摩院选拔人才，埋下数学种子
对数学人才的重视不光是阿里巴巴，还有华为也尤其注重数学人才的培养。被誉为华为最神秘部门诺亚方舟“2012 实验室”其中就有两个数学所，华为的掌门人任正非曾公开表示：“华为的优势在于数理逻辑，而不是物理界面。”他认为用物理的方法来解决问题已经趋紧饱和，要重视数学方法的突起。
本次竞赛有三道题。每道题有 a,b,c 共 3 小题。 第一题：在下面的所有小题中，我们不考虑退货。
a. “双十一”期间，一家电商店铺 A 有满 60 返 5 块的优惠券，可叠加使用（比如，买 120 块的东西，用两张优惠券，只需付 120-5×2=110 块）。此外，电商平台全场提供满 299 返 60
的优惠劵（可凑单），每单限用一张，可与店铺的优惠券叠加使用（比如，原价 299 块的一单，最终价格是 299-5×4-60=219）。原价不满 299 则不能减去全场折扣 60。不足 299 时，用户可以在别家商店凑单。）
请问：小明打算在这家店铺买一款 250 块的耳机和一款 600 块的音箱，怎么卖最划算？
b. 现在您开了一家电商店铺，卖与 A 店同款的耳机和音箱，标价相同。您计划提供满 99 返 x 的优惠券，x 为大于 0、小于 99 的整数。与 A 店不同的是，您的优惠券每单限用一张（比
如，买 250 块需付 250-x 块，而不是 250-2x 块。“”“双十一”期间，电商平台全场满 299 返 60 仍然适用。
请问：x 至少等于多少时，小明在您的店铺买耳机和音箱其中一种会更优惠（至少 1 元）？ 请问：x 至少等于多少时，小明在您的店铺既买耳机又买音箱总和会更便宜（至少一元）？
C. 建模题。对比单卖和捆绑销售下的利润期望。假设耳机（产品 1）和音箱（产品 2）的单件销售的单位成本分别是 C1 和 C2（包含生产、储存、运输、促销等所有成本）。一个访问店铺的客户对两件产品的心理价值分别是均匀分布在[0,U1]和[0,U2]的区间上随机变量 S1 和S2。假设 S1 和 S2 相互独立。本题有三小问。
1.如何分别设定产品价格 P1 和 P2，以最大化每个到访客户带来的利润期望。这里假设 C1<U1；当且仅当 P1≤S1 时，客户会购买一件产品 1；用户不买的话不计损失。对产品 2
做类似假设。请以公式形式给出最优价格 P1*和 P2*
以及应的最大利润期望 R1 和 R2。
2.现在假设产品 1 和 2 捆绑销售，成本是 C12=t（C1+C2）。因为节省了包装盒运输成本，
所以假设 0<t<1。其余的条件不变。请以公式形式给出捆绑下的最优价 P12*
。
3.单卖和捆绑销售，哪个利润更优，还是不一定？为什么？
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