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视频标签：复数的乘除运算
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视频课题：安徽省高中新教材优质课《7.2.2复数的乘除运算》教学设计
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安徽省高中新教材优质课《7.2.2复数的乘除运算》教学设计
7.2.2 复数的乘、除运算
内容分析
一、课时内容分析
本节课是复数的四则运算的第二课时，是在研究了复数的加法和减法运算后，对复数的四则运算的进一步研究.与复数的加法运算类似，复数的乘法运算是一种规定，在运算形式上类似于多项式的乘法运算.同时，这种规定必须遵循一定的规则，即从实数系向复数系扩充，扩充后的数系中规定的运算规则，与原数系中的运算规则协调一致，即乘法满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
复数的除法运算,是乘法运算的逆运算,类似于减法运算是加法运算的逆运算.同时,除法运算中分母实数化的过程,类似于实数集中的分母有理化的过程.通过数系扩充后乘、除法运算法则的得到过程,使学生体会用类比解决数学问题的方法,提升数学运算素养和逻辑推理素养,并感受人类理性思维在数系扩充中的作用.
二、课时教学重点
重点：复数的乘法运算法则和运算律，复数的除法运算法则.
在备课时，合理安排重点内容和非重点内容的时间，做到主次分明，多花时间突出重点内容.教学过程中应围绕重点内容进行，通过问题设置，启发学生进行探究，通过类比学习，掌握复数乘法法则和除法法则，能够证明复数乘法运算律.在课堂上口头强调重点，板书时用彩色粉笔标记重点，通过例题和巩固练习及时了解学生对本节重点内容的掌握情况.
学情分析
一、认识基础分析
学生已经学习了复数的概念以及复数的加法、减法运算及其几何意义.复数的加法运算类似于多项式的加法运算,减法运算是加法运算的逆运算.而复数的乘法运算也类似于多项式的乘法运算,除法运算是乘法运算的逆运算.因此,上节课的学习为这节课奠定了基础,学生可以通过类比,得出复数的乘法和除法法则.
二、课时教学难点
难点：复数的除法运算法则.
复数的除法运算,实际上就是分母实数化的过程,对于这一点,学生比较陌生,如何想到分子和分母同时乘以分母的共轭复数,是本节课的难点.在完成例4教学时，启发学生对互为共轭复数的两个复数乘积进行探究，为复数除法法则的推导做铺垫，紧接着引导学生类比根式的除法，推导复数的除法法则，掌握复数除法运算的通法，突破难点.
目标分析：
一、课时教学目标
1.掌握复数的乘法、除法运算法则及乘法的运算律，能够进行复数的乘除运算；
2.能在复数范围内求解一元二次方程；
3.通过复数乘法、除法运算的学习,学会用类比的方法解决问题.
二、教学目标解析
在教学中，设置问题引发学生进行探究，通过类比的方法和组织学生进行小组合作学习，实现本节课的教学目标.
达成目标的标志是:
1.通过本节课学习，学生能够熟练掌握复数乘、除法运算法则及
乘法的运算律，并能够运用其解决实际问题，完成例题和巩固练习的解答.
2.学生通过例6的学习，可以总结出复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式，并能够运用公式对相关问题进行解答.
3.通过类比的方法学习复数的乘、除运算，提升学生的逻辑推理素养；在例题和巩固练习的解答过程中，学生的数学运算素养得到提升.
三、课堂评价量表
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知识点 |
水平层次 |
评价方式 |
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水平一 |
水平二 |
水平三 |
个人 |
同学 |
教师 |
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复数的乘法法则 |
能够由多项式乘法，类比得出复数的乘法法则. |
掌握复数乘法法则. |
能够运用复数乘法法则解决相关问题. |
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复数的乘法运算律 |
能够证明复数乘法的运算律. |
能够运用复数乘法的运算律解决相关问题. |
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复数的除法法则 |
能够推导复数的除法法则. |
掌握复数除法法则. |
能够运用复数除法法则解决相关问题. |
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复数范围内解方程 |
掌握复数范围内一元二次方程的解法. |
能够运用实系数一元二次方程的求根公式解决相关问题. |
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教学方法
为了实现本节课的教学目标，本节课的教法主要采用问题驱动教学模式，学生通过类比学习，探究学习和小组合作学习，掌握本节课内容.
教学过程
一、复习旧知，导入新课
引导学生复习旧知，并类比有理数的学习过程，使得学生自己想到本节课将要学习的内容,顺势引出本节课题.
师生活动：先简单回顾上节课知识，并展示单元学习任务单.引发学生思考，导出本节课研究内容.
教学设计意图：通过复习，加深对已学知识的记忆，引导学生类比有理数学习过程，引出本节课题，符合学生认知规律.
二、讲授新课，应用举例
活动一 复数的乘法运算法则
问题1 多项式
，则
运算结果是什么？
学生预期表现：学生能够给出运算结果.
教师根据学生回答，紧接着提出问题2
问题2 复数
，则
，按照上述运算法则将其展开，
等于什么？
学生预期表现：学生能够计算出结果，并能够尝试说明计算过程，理解复数乘法法则的合理性.根据教师的指导和提示，类比多项式相乘，再把所得的结果中的
换成-1,尝试写出复数的乘法法则.
教师根据学生的回答，师生共同总结复数乘法法则：
提醒学生注意：两个复数的积是一个确定的复数，特别地，当
都是实数时， 把它们看作复数时的积就是这两个实数的积.
教学设计意图：复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似,可以将
看成是关于
的“一次二项式”,将复数的乘法按多项式的乘法进行,在所得的结果中把
换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可，提升学生的逻辑推理素养.
活动二 复数的乘法运算律
问题3 实数乘法运算有交换律、结合律和分配律，根据数系的扩充规则，那么复数乘法运算会有哪些运算律呢？
学生预期表现：回答复数乘法可能也有交换律、结合律和分配律.
教师根据学生回答，接着提出问题4.
问题4 你能证明这些运算律吗？
将学生分成三组，分别证明这三个运算律，学生证明好以后，选三名学生的证明过程进行展示，并请学生解释证明过程，得出复数乘法的运算律：
对于任意
，有
教学设计意图：由实数运算律到复数运算律，这个过程符合学生认知规律，运算律的证明过程可以提升学生的逻辑推理和数学运算素养.
【例3】计算  |
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活动三 应用举例
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【例4】计算 （1)  ; （2)  . |
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注意：讲解例3时提醒学生，依据复数乘法的结合律，这种连乘式有意义，可以看成从左到右依次相乘.讲解例4时提醒学生，实数系中的乘法公式在复数系中也有类似公式，运用乘法公式可以简化运算过程.
学生预期表现：能够完成两个例题的解答，但总结复数乘法的一般步骤时较为吃力.
引导学生完成两个例题，并尝试总结复数乘法的一般步骤.
复数乘法的一般步骤：
(1)首先按多项式的乘法展开;
(2)再将
换成－1;
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为
形式．
完成例题后教师引导学生观察例4第一问两个复数的特征，进而提出问题5.
问题5 若
是共轭复数，则
是一个怎样的数？
学生预期表现：学生能够得出结论
，两个共轭复数的乘积是一个实数.
思考：请同学们课后思考并搜集共轭复数还有哪些性质呢？
教学设计意图：例3和例4是复数乘法运算法则和运算律的实际应用，通过例题可以加强对知识的理解，提升学生的数学运算素养.问题5的设置，为接下来学习复数的除法运算做铺垫.
活动四 复数的除法运算法则
问题6 类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.请探求复数除法的法则？
师生活动：把满足
的复数
叫做复数
除以复数
的商,并根据复数的乘法法则及复数相等的条件求解出：
学生预期表现：根据教师引导能够得出复数的除法法则
复数除法法则较为复杂，不易准确记忆，在实际计算中若按照复数除法法则进行，非常繁琐，也极易出错.
问题7 你能想到更好的方法进行复数除法运算吗？
教师给学生适当提醒，引导学生分小组进行合作探究，最终得到类比根式的除法，对分母进行实数化，进行复数除法运算.
学生预期表现：根据教师引导得到新的方法，在进行复数除法运算时，通常先把
写成
的形式，再把分子与分母都乘分母的共轭复数
，化简后就可得到上面的结果.这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”.
教师引导学生总结两个复数的除法运算步骤：
(1)首先将除式写为分式；
(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；
(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为
形式．
教学设计意图：让学生自己类比实数除法、思考和发现复数除法法则，体验推广的过程，有助于学生理解复数的除法法则.而复数的除法运算，实际上就是“分母实数化”的过程，对于这一点，学生比较陌生，如何想到分子和分母同时乘以分母的共轭复数，是本节课的难点.这里通过类比学生学过的根式的除法，突破难点.
活动五 应用举例
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【例5】计算  . |
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师生活动：师生共同完成例题.
【例6】在复数范围内解下列方程：
（1）
；
（2），其中，且.
师生共同完成例6，并总结在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
（1）当
时，；
（2）当
时，
教学设计意图：对于实系数一元二次方程，当时无实数根，因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决.引入复数后，更多的代数方程有解，例6有助于学生了解引进复数的必要性，体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用.
请学生思考：根据复数的加法法则和乘法法则，你能说明实数系经过扩充后得到的新数集就是复数集C吗？
师生活动：请学生进行回答，并通过数系扩充规则说明实数系经过扩充后得到的新数集就是复数集C.
三、巩固练习，学以致用
学生完成课本80页练习第1题的2和3，第3题的1和3，第4题的1和2，并请同学上黑板进行板演.
学生预期表现：学生能够运用本节课知识解决问题.
教学设计意图：巩固练习可以让学生进一步加深对本节知识的理解，并做到学以致用.请学生上台演示，可以及时发现问题并共同解决，同时还可以增强学生的心理素质，激发学生参与课堂教学的热情和兴趣,提升学生数学运算素养.
四、课堂小结，归纳提升
请学生思考：通过本节课的学习，你收获了什么？
学生举手回答，通过学生回答，总结本节课主要内容.
小结：（1）复数的乘法法则和运算律；
-
复数的除法法则；
-
复数范围内求解实系数一元二次方程.
请学生思考：我们已经学习了复数的哪些知识呢？
根据学生回答，形成知识框架,并请学生课后继续完善单元学习任务单.
教学设计意图：引导学生进行本节课知识小结，可让学生积极主动回顾本节课的内容，并培养学生的总结概括和语言表达能力.
五、布置作业，拓展延伸
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基础题：课本P80 习题7.2 3，4 必做
（2）提升题：课本P81 习题7.2 6，7 选做
（3）思考题：复数的加减运算有几何意义，那么复数的乘除运算有几何意义吗？如果有，其几何意义是怎样的呢？
教学设计意图：布置作业时，考虑学生基础不同，采取分层次布置，这样可以让每一位学生都能得到巩固和提升，体现了因材施教的教学理念，最后给出思考题，是为了激发学生好奇心，进行自主探究.
六、板书计划
教学反思
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
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