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人教版A版(2019年版)高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》费县

视频标签:函数的零点与方程的解

所属栏目:高中数学优质课视频

视频课题:人教版A版(2019年版)高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》费县

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人教版A版(2019年版)高一必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》费县§4.5.1  函数的零点与方程的解费县第二中学   李雪
学习目标
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系.(易混点)
2.会求函数的零点.(重点)
3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.(难点)
核心素养
1.借助零点的求法培养数学运算和逻辑推理的素养.
2.借助函数的零点同方程根的关系,培养直观想象的数学素养.

自主探究:函数零点与方程的根的关系

问题:
  • 方程 x2  2x 30 的解为         ,函数 y x2  2x 3的图象与 x 轴有     个交点,坐标为             .
  • 方程 x2  2x10的解为         ,函数 y x2  2x1的图象与 x 轴有     个交点,坐标
为              .
  • 方程 x2  2x30 的解为         ,函数 y x2  2x3的图象与 x 轴有     个交点,坐标为              .

一般结论:
判别式
2
4
b
ac
D= -
 
0
0
 
=
 
0
方程
)
0
(
0
2
a
c
bx
ax
的根
函数
)
0
(
2
a
c
bx
ax
y
的图象
函数的图象
x
轴的交点
根据以上结论,可以得到:
x
y
x
1
x
2
0
x
y
0
x
1
x
y
0

一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的根就是相应二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴交点的             .
你能将结论进一步推广到 y f (x)吗?
新知 : 对于 函 数 y f (x),我 们 把 使 f x( ) = 0 的实 数 x 叫做 函 数 y f (x)的 零点
zero point.
反思:
函数 y f (x)的零点、方程 f x( ) = 0 的实数根、函数 y f (x)的图象与 x 轴交点的横坐
标,三者有什么关系?
小试牛刀:
1.函数 y = x2 - 4x + 4 的零点为              .
2.函数 y x3 的零点为              .
3.函数 f (x) log5(x  1)的零点是(  ) .
A.0      B.1           C.2           D.3
小结:方程 f x( ) = 0 有实数根 Û 函数 y = f x( ) 的图象与 x 轴有交点 Û 函数 y = f x( ) 有
零点.

合作探究一:零点存在性定理

问题:
  • 作出 y x= 2 - 4 3x+ 的图象,求 f (2), f (1), f (0) 的值,观察 f (2) 和 f (0) 的符号.
  • 观察下面函数 y = f x( ) 的图象,
在区间[a b, ]上      零点; f (a) f (b)      0;在区间[b c, ]上      零点; f (b) f (c)      0;
在区间[c d, ] 上      零点; f (c) f (d)      0.
新知:如果函数 y = f x( ) 在区间 [a b, ]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a) f (b)  0 ,那么,函数 y = f x( ) 在区间 (a b, )内有零点,即存
cÎ (a b, ) , 使 得 f c( ) = 0 , 这 个 c 也 就 是 方 程
f x( ) = 0 的根.
小组讨论: 1.若 f (a) f (b) 0,则 f (x) 在(a,b) 内的零点个数一定是一个吗?
  2.若 f (x) 在(a,b) 内有零点,则 f (a) f (b)  0 一定成立吗?
3.在零点存在性定理的条件下,如果函数具有单调性,函数 y = f x( ) 在区间(a b, ) 内存在唯一零点吗?
判断:若函数 y f (x)在区间[a b, ]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是(
 ).
A.若 f (a) f (b)  0,不存在实数c(a,b)使得 f (c) 0 ;
B.若 f (a) f (b)  0,存在且只存在一个实数c(a,b)使得 f (c) 0 ;
C.若 f (a) f (b)  0,有可能存在实数c(a,b)使得 f (c) 0 ;  
D.若 f (a) f (b)  0,有可能不存在实数c(a,b)使得 f (c) 0 .
小试牛刀:
2
1.函数 f (x) ln x   的零点所在的大致区间是(  ) .
x
A.(1,2)        B.(2,3)         C.(3,4)          D.(e,3)
2.根据表格中的数据,可以判断方程ex x 2 0必有一个根在区间(  ) .

x
1
0
1
2
3
e
x
0.37
1
2.78
7.39
20.09
x
2
1
2
3
4
5

A.(-1,0)      B.(0,1)          C.(1,2)        D.(2,3)

合作探究二:数形结合方法探讨方程的根的个数

求函数 f x( ) =ln x +2x - 6 的零点的个数.(你有哪些方法?你会证明这个函数的单调性吗?)
1       1 变式:分别求函数 g(x) x         ,h(x) x        的零点个数. x      x
感悟:函数 y =f x( ) 的零点 Û 求两个简单函数图象的交点横坐标 Û 方程 f x( ) =0 的根.
1.已知函数(小试牛刀:) f (x) 的图象是连续不断的,有如下对应值表:

x
1
2
3
4
5
6
7
)
(
x
f
23
9
7
11
5
12
26

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有(   )个 .
A.5 个      B.4 个    C.3 个       D.2 个 2.函数 f (x) =的零点个数为(  ) .
A.0               B.1               C.2               D.3

当堂达标

1.函数 y 2x 1的零点是(  )

A.1   B.1 ,0   C.0, 1   D.2

         2      2         2
2.函数 f x 3x  4 的零点所在区间为(  )
 A.(0,1)   B.(-1,0)   C.(2,3)   D.(1,2)

 2x,x 0

3.函数 f (x)  的零点是           lg x,x  0 回顾小结
1、本节课你学到了那些知识?
  1. 函数零点的定义.
  2. 零点的存在性定理.
  3. 函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断.
2、本节课渗透了什么数学思想方法?

课后检测,自主学习

【基础检测】
1.已知函数 f (x) x2  1,则函数 f (x  1) 的零点是________.
2.若函数 f (x) ax b只有一个零点 2,那么函数 g(x) bx2 ax 的零点是(  ) .
A.0,2              B.0,-             C.0,            D.2,
【能力提升】

                                                2x  2,    x[1,),                      1

         3.设函数 f (x) x2  2xx( ,1).,则函数 f (x)  4 的零点是________.

4.定义在 R 上的奇函数满足:当 x0时, f (x) 2017x log2017 x ,则在 R 上方程
f (x) 0的实根个数为________.
【综合拔高】
5.设 aR ,试讨论关于 x 的方程 lg(x  1)lg(3 x) lg(a x) 的实根个数.(选

做)
6.已知函数 f (x) log x ,求方程( ) x f (x) 的实根个数.

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