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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示2.1.2基本不等式-甘肃
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第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示2.1.2基本不等式-甘肃
2.1.2基本不等式（线上教学）
【内容解析】
1.课标要求：
掌握基本不等式 ，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
2.在教材中的地位和作用：
-
定位：在新教材中调整为预备知识，重点研究基本不等式的发现与证明，并且将之应用于求最值问题.
-
位置：作为相等关系与不等关系的子单元，连接了不等式的性质和后续三个“二次”关系的求最值问题.
-
作用：培养学生从多角度发现问题的数学思维、借助直观理解数学原理，发展代数推理能力.
【教学目标】
1．经历从初中的完全平方公式与赵爽弦图的代数、几何两条思路抽象出重要不等式
a2+
b2≥2
ab过程，通过代数变换，推出基本不等式 ，并进一步解释基本不等式结构；
2．利用不等式的性质，探索这两个不等式的代数证明思路及它们的内在联系，提升逻辑推理素养；
3．了解基本不等式的几何解释，从数形结合的角度对基本不等式进行再认识，体会数与形的和谐统一，感受数学美，促进直观想象素养的发展；
4．会用基本不等式解决简单的最值问题，初步了解不等式的应用价值，发展数学运算、数学建模素养．
【教学重点】
从不同角度探索基本不等式的发现与证明，会用基本不等式解决简单的最值问题.
【学情分析】
1
.知识储备：初中已经认识不等式，上节课学习了不等式的性质，能够进行简单的数与式的比较;会用作差法证明简单的不等式.
2.能力储备：平时的课堂教学中，已经培养学生具备了一定的小组讨论和探究合作学习的能力;学生思维活跃，有充沛的精力和较强的求知欲.
3.不足之处：代数思维尚未建立起来，缺乏运用结构化的眼光看待研究对象的意识，还未掌握高中的学习方式方法;对于不等式的理解存在畏难情绪，不愿意主动去探究.
【教学难点】 以数学模型的观点理解基本不等式，解决简单的最值问题．
【教学策略】 充分发挥小组讨论，探究合作学习模式，让学生互帮互学学会分析问题，解决问题；利用初中学过的知识和方法，发挥几何画板动图的演示作用，运用启发式、探究式教学方法让学生能够运用数形结合思想，充分理解基本不等式.
【教学过程】
（代数思路）
课前布置的思考题：有一个小厂想要扩大规模，在去年的年初争取到了一笔投资意向，但投资人提出一个要求：在接下来的两年中，年均产量必须保持在15%以上的增长率，但受到客观因素的影响，去年只有12%的增长率.为了能争取到这笔投资，该厂调整思路，重新规划方案，在今年最多可达到18%的增长率.现在我把这个问题交给大家，你能用你的数学知识判断一下，这个方案可以完成投资人的要求吗？
师生活动 通过腾讯会议的投票功能，看出个别学生不会此题，由学生共享屏幕讲解解题过程，老师提出计算中发现的问题.
设计意图 在本题的计算问题中提出 与 不用计算就能比大小问题,为代数主线发现两个不等式奠定基础，也为基本不等式的应用埋下伏笔.
在初中的学习中，我们学过两数差的完全平方公式，形式是什么？能用它写出一个恒成立的不等关系吗？
引导学生从 ，变形后得到： ，从而得出猜想.
猜想1 对任意 ，必有 ，当且仅当 时等号成立.
问题1 a,b的取值范围是什么？
问题2 等号在什么情况下成立？
师生活动 借助初中知识，学生很快能得到变形的不等式，教师组织学生思考并回答问题.
设计意图 引导学生从初中的代数知识入手，得到今天要学习的内容，通过问题1，2的回答，让学生自主得出重要不等式.
观察重要不等式 的结构，发现左边可以叙述为“二分之两个大于等于0的数的和”，这和初中学习的两个数的平均数一致，于是引导学生将公式中的 用
a替代， 用
b替代，可以得出猜想.
猜想2 对任意 ，必有 ，当且仅当 时等号成立.
师生活动 从平均数角度引导学生学生自主完成公式代换，并深化学生的认识.一般地，对于正数
a，
b称 为 的几何平均数；称 为 的算术平均数.
基本不等式 又可叙述为：
两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.
设计意图 让学生在自主完成公式代换的过程中，体会转化与化归的思想；在两种平均数的讲解中，开拓了学生对高中知识的认知.
在此基础上，教师指出，两个不等式分别称为重要不等式和基本不等式.
重要不等式 对任意 ，必有 ，当且仅当 时等号成立.
基本不等式 对任意 ，必有 ，当且仅当 时等号成立.
三、掌握证法，适当延展
问题3 请同学们给出这两个不等式的证明．
证明1（公式得出过程即为证明过程）
所以 ，当且仅当 时取等号．
证明2（作差法）
任意
当且仅当 时等号成立.
所以对任意 ，必有 ，当且仅当 时等号成立.
师生活动 教师引导学生对基本不等式猜想进行证明，学生共享屏幕在线完成，教师点评并纠正问题.在这个过程中教师重点关注学生能否灵活运用不等式的性质以及不等式的证明方法完成证明.教师引导学生关注式子的结构，从而利用作差法来完成证明.学生利用屏幕共享功能在线书写证明过程.
设计意图 通过引导学生完成证明，从而得出本节课的教学内容，明确两个定理之间的关系.进一步掌握不等式的性质及不等式的证明方法.并加强学生对基本不等式成立条件的运用.
（几何思路）
数学的学习中数与形是不分家的，我们刚才从数的角度入手，利用初中的数学知识，经历了从发现两个基本不等式，到证明它们成立.那在形的角度我们能不能发现它们呢？
大家对“诺贝尔奖”不陌生吧，对数学届的最高奖项“菲尔兹奖”知道吗？它是在国际数学家大会上颁发的，2002年第24届国际数学家大会在北京召开，会标就是“赵爽弦图”.
五、归纳探索，形成概念
探究一
问题3—6 我们可以发现，当四个直角三角形直角边的边长发生变化，使得每个直角三角形都变为等腰直角三角形，这时你发现了什么？
探究二
先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分
折叠）．假设两个正方形的面积分别为a和b，考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？
师生活动 利用腾讯会议的分组讨论模式，在线分成两个小组，分别对探究一和探究二在线讨论.
在探究一学生回答时教师演示动画，让四个直角三角形直角边的边长发生变化，学生在观察的基础上进行思考，教师组织学生交流并回答问题.
探究二由学生共享屏幕讲解.
设计意图
探究一 引导学生得到 中等号成立的条件，即
a=
b时，
E，
F，
G，
H重合，这时 .通过探究，从赵爽弦图中发现重要不等式.
探究二 学生通过折纸试验发现基本不等式，并明确 中等号成立的条件，即
a=
b时两个直角三角形全等.
六、掌握证法，适当延展
问题7 如图，
AB是圆
O的直径，过
AB上一点
C作垂直于
AB的弦
DE，连接
AD,BD．观察动图中
OD，CD长度的大小关系.
问题8 设
AC=a，BC=b．你能利用找到的
OD，CD长度的大小关系解释基本不等式吗？
师生活动 教师演示动图，出示图片和问题，引导学生利用圆
的几何性质，得到 及 的几何意义，从而
根据圆中的数量关系解释基本不等式.学生利用屏幕共享在线展示推导过程.
设计意图 通过问题，让学生加深对基本不等式的认识，对基本不等式中取等号的条件有更直观的认识，进一步加强数形结合的意识，提升思维的灵活性，促进直观想象素养的发展.
基本不等式 又可叙述为：
半径长不小于半弦长.
-
联系应用、迁移内化
1.
回到最初提出的问题 与 不用计算就能比大小.
师生活动 学生利用基本不等式，很快比较出两者的大小.
设计意图 加深学生对基本不等式的理解并能灵活运用，明确基本不等式的一种应用——比较大小.
2.再次认真观察基本不等式的结构，它是连接了两个非负数的和与积的不等关系，你能找到两个用字母表示的数，它们的乘积为定值吗？你能得到它们的和的范围吗？
师生活动 (1)(2)两个小题：教师引导学生自主找到这两个不等式，引导学生体会基本不等式中所蕴含的两个正数的积与和两类运算结构，得出两个正数的积为定值时，和有取值范围.从而得出和有最小值，这样就自然感受到基本不等式还能解决最值问题.
设计意图 通过(1)(2)，让学生一步步理解基本不等式的应用及其等号成立的条件，体会基本不等式揭示的两正数积定和有最小值的应用方向.由于时间关系另外一种和定积有最大值的应用要放在下节课讲解.这个设计也起到了承上启下的作用，也给有能力的学生留下课后思考问题.
八、归纳小结，提高认识
回顾本节课的学习，回答问题
1. 你能归纳一下基本不等式的研究过程吗？
2. 你对基本不等式有怎样的认识？
3. 解决最值问题时，需要有什么注意的吗？
设计意图 分别引导学生从方法、知识、应用三个方面归纳本节课的学习，反思学习过程，形成有条理的理性认识，其中重点回顾基本不等式的研究过程和方法，对这种“规则型”的课形成一种研究思路：发现——证明——应用.
1.夯实基础：课本
P39 练习1、2、3、4
2.拓展延伸：
（1）基本不等式是重要不等式的变形，你能从基本不等式中得出其他一些变形吗？
（2）课堂中利用圆几何解释了基本不等式，你还能想到其他几何解释吗？
3.拓展应用：
你能构造一个生活情境，将今天所学的求最值方法应用其中吗？
设计意图 采用分层布置作业的方式，适用于不同程度的学生.对于拓展延
伸是给有想法的学生一些思路，继续深度理解基本不等式；拓展应用是对
下节课讲基本不等式的应用的铺垫.
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