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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示5.1导数的概念及其意义-安徽
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第十一届全国高中青年数学教师优质课课例展示5.1导数的概念及其意义-安徽
5.1导数的概念及其意义(4课时，单元教学设计)
一、单元内容及其解析
1.内容
变化率的典型实例，导数的概念，导数的几何意义.
2.内容解析
导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，也是解决增长率、膨胀率，效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.
在大多数大学数学教科书所呈现的微积分知识体系中，都是先介绍极限概念，再介绍导数楼念，但现在的高中数学教科书在给出导数概念之前并没有介绍极限概念及其运算，因此就不能用极限理论建立导数概念，导数的本质是函数的瞬时变化率，即函数平均变化率的极限.教科书选取高台跳水运动员的速度和抛物线的切线的斜率这两个典型的变化率问题.通过这些特殊案例.使学生经历由平均速度过渡到瞬时速度、由割线斜率过渡到切线斜率的过程，以直观的方式由平均变化率的极限引出瞬时变化率，进而建立导数的概念.
极限是人们从微观层面认识世界变化规律的重要工具.由于导数是一种特殊的极限，其中自然蕴含着极限思想，所以导数的学习对于发展学生的数学抽象素养和正确的世界观有着重要的作用.从瞬时速度、切线的斜率这些特殊的瞬时变化率出发，再抽象出导数概念，蕴含了数形结合、从特殊到一般的数学思想方法，导数的几何意义表明，函数在某点处的导数是函数的图象在相应点处切线的斜率，这对于帮助学生理解导数的意义，提升学生的
数形结合能力，发展直观想象素养，有着重要的作用.
基于以上分析，确定本单元的教学重点:导数的概念及其几何意义、极限思想
本单元数学需4课时，具体分配如下:第1课时，高台跳水运动员的速度;第2课时，抛物线的切线的斜率;第3课时，导数的概念;第4课时，导数的几何意义、导数的概念及其几何意义的综合应用.
二、单元目标及其解析
1.目标
(1)通例，经历均变化率过渡到瞬时变化率的过程，理解导数的概念.
(2)通过数图象直观理解导数的几何意义.
(3)通过经历导数概念的抽象概括过程，体会极限思想.
2.目标解析
达成上述目标的标志是:
(1)结合“高台跳水运动员的速度”问题，学生能借助计算工具计算运动员的平均速度，并通过观察平均速度在自变量问隔不断变小的过程中的变化趋势，得出瞬时速度;结合“抛物线的切线的斜率”问题，观察从割线过渡到切线的过程中，割线斜率在两交点的横坐标间隔不断变小的过程中的变化趋势，得出切线的斜半，从而了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.
(2)通过研究从曲线的割线过渡到切线、从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的儿何意义，能通过求函数在某点处的导数得出函数的图象在对应点处的切线斜率，进而求出切线的方程.
(3)结合“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”问题，能从平均速度的数值变化和图象过某点处的割线斜率的变化趋势直观感知瞬时速度是平均速度的极限，切线斜率是割线斜率的极限，能结合导数的概念和几何意义知道函数在某指定点处的导数是一个确定的数，是一个特殊的极限，对于简单的函数，能通过计算平均变化率的极限得出导数.
三、单元教学问题诊断分析
由于学生在学习导数之前没有学习极限，所以学习导数的过程实际上是学生体会极限思想的过程，因此，如何用平均速度的极限理解瞬时速度，用割线斜率的极限理解切线的斜率，并由此体会极限思想，这是第一个教学难点，要突破这个难点，需要在“高台跳水运动员的速度”和“抛物线的切线的斜率”这两个案例中，让学生充分经历由“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”的过程，通过观察平均速度的数值变化和图象过某点处的割线的变化趋势，正确理解平均速度的极限就是瞬时速度，以及割线的极限位置就是切线，割线斜率的极限就是切线斜率，在此过程中，帮助学生正确理解“极限”的含义是建立导数概念的关键.
学生到高中阶段已经有了一定的归纳能力，但在归纳的基础上抽象出数学概念的能力仍有所欠缺，因此，如何从瞬时速度、切线的斜率这些具体案例中抽象出导数概念，是第二个教学难点，要解决这个问题，需要先从学习过的具体案例中提炼出平均变化率的概念，并用符号形式化地表示出来，在此基础上，观察随着自变量的改变量趋于 0，平均变化率的数值变化和形式化后的变化趋势，建立导数的概念.
导数概念的建立过程涉及大量的概念与符号，如何正确理解这些概念与符号的意义，是第三个教学难点，教学中要通过具体案例进行剖析，不仅要使学生能正确理解这些概念与符号，还要能准确运用相关概念与符号.
四、单元教学支持条件分析
学生之前没有学过极限的概念，而导数的本质便是极限，同时导数的表示要借助极限符号，这些都增加了学生抽象概括出导数概念的难度，因此，教学中要借助信息技术工具，使学生通过列表观察平均变化率的变化趋势，通过图象直观观察割线变化到切线的过程，感受“逼近”过程，以此降低学生对导数就是极限的认知难度
五、第4课时教学设计
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课程基本信息 |
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| 学科 | 高中数学 | 年级 | 高二 | 学期 | 春季 | ||||||||||||||
| 课题 | 5.1.2导数的概念及其几何意义（第2课时） | ||||||||||||||||||
| 教科书 |
书 名：数学选择性必修第二册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年7月 |
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| 内容与内容解析 | |||||||||||||||||||
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1. 课时内容 导数的几何意义、导数的概念及其几何意义的综合应用. 2. 内容解析 微积分学是人类思维的伟大成果之一，为研究变量和函数提供了重要的方法.导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用.导数的几何意义作为导数的概念的下位知识课，是学生掌握了上位知识——平均变化率、瞬时变化率以及导数的概念的基础上进一步从“形”的角度理解导数的含义与价值，体会逼近、以直代曲和数形结合的数学思想方法.同时，本节的学习也为下位知识——导数的计算以及导数在研究函数中的应用奠定坚实的基础. 3．核心素养：直观想象、逻辑推理、数学运算. 基于以上分析，本课时的教学重点：对导数的几何意义的探究，及其在数学、实际问题中的应用. |
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| 目标与目标解析 | |||||||||||||||||||
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1. 教学目标 (1)通过函数图象直观理解导数的几何意义； (2)通过经历导数几何意义的抽象概括过程，体会数形结合、以直代曲、极限思想； (3)会应用导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程. 2. 目标解析 达成上述目标的标志： （1）通过研究从曲线的割线过渡到切线，从割线斜率过渡到切线斜率的过程，得到导数的几何意义； （2）利用信息技术演示  的动态变化效果，体会数形结合、以直代曲、极限思想；（3）给定一个具体函数上某个已知点P（  ，会应用导数的概念得到 ，进一步用导数的几何意义得到该点处的切线方程. |
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| 教学问题诊断分析 | |||||||||||||||||||
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（一）已经具备的基础 从知识储备上看，学生通过了对实例的分析，经历了由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解了导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，从数上体会了“逼近”的思想；同时，学生已经学习了直线的斜率与直线方程的相关知识. 从学习能力上看，教学对象是高二理科班的学生，思维活跃，具有一定的想象能力和研究问题的能力.经过高中近两年的训练，学生逐步形成小组合作探究，代表上台解释概括总结的学习模式. （二）可能存在的困难 首先学生对切线认识存在一定的思维定势——“与曲线仅有一个公共点的直线是曲线的切线”，其次学生对导数几何意义的认知即找到数与形之间的联系存在一定的困难. 基于以上分析，确定本节课的教学难点：用运动变化、极限的观点理解导数的几何意义.在教学中借助信息技术工具，组织、引导学生通过图象直观观察割线变化到切线的过程，感受“逼近”过程，以此降低学生对导数几何意义的认知难度，从而突破本节课的教学难点. |
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| 教学支持条件分析 | |||||||||||||||||||
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为突破本节课的教学难点，在教学中借助信息技术工具，使学生通过图象直观观察割线变化到切线的过程，感受“逼近”过程，以此降低学生对导数几何意义的认知难度. 1、教法分析：“启发探究式”教学法，教学中遵循教师主导、学生主体、探究主线，教师更多的是启发引导学生的思维. 2、学法指导：（1）自主学习 （2）合作学习 （3）探究学习 3.教学媒体：PPT,GeoGebra |
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| 教学过程设计 | |||||||||||||||||||
教学流程图 （环节一）情境引入 问题1：求函数  处导数 分哪几步？第一步：求增量  第二步：求平均变化率  ；第三步：求瞬时变化率  .前面我们以物理为背景，从“数”的角度研究了导数，现在我们想从“形”的角度来解读导数，即导数的几何意义. 【设计意图】：由旧知引出问题，既复习了旧知，又启发学生思考，引出本节课课题. （环节二）探索建构 1.切线的定义 问题2：平均变化率 的几何意义是什么？【学情预设】：平均变化率表示的是割线 的斜率.师：这就是平均变化率(  )的几何意义 【设计意图】：以求导数的两个步骤为依据，从平均变化率的几何意义入手，探索导数的几何意义，抓住  的联系，在图形上从割线入手来研究问题.◆多媒体演示【动画1】：  学生自己拖动点  沿着曲线 趋近于点 时，割线 的变化趋势图. 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？【学情预设】：学生观察【动画1】，类比得出一般曲线的切线 切线定义：在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点 时，割线 趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 称为曲线y=f(x)在点 处的切线.【设计意图】：让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，亲身经历一般曲线切线的发生、发展过程，上升理性思维，形成切线定义，体会“逼近”思想. 问题3：初中时，我们怎样定义圆的切线？ 追问1：圆的切线定义适合于任意曲线吗？ 活动1：小组合作列举必修一中基本初等函数的图象，探究圆的切线定义是否适合以上函数？  【学情预设】：（1）切线与曲线的相对位置（二次函数）；（2）切线与曲线公共点的个数（三次函数，正弦函数）.追问2：今天对切线的定义符合初中圆的切线定义吗？ 多媒体演示【动画2】：圆上点 处的切线T和割线，演示点P从右边沿着圆逼近点 ,然后再从左边沿着圆逼近点 ，即 ，割线的变化趋势.【学情预设】：先感知后发现，当 ，随着点P沿着圆逼近点，割线无限趋近于点处的切线.【设计意图】：带着问题观察动画，借助熟悉的圆中的某点处的割线和切线，学生更易感知当 ，割线的变化趋势.2.导数的几何意义 问题:4：曲线上两点  ， ，割线 点P处的切线，那么：，割线的斜率 ？与导数 又有何关系呢？【学情预设】： 生： 
 问题5：你能发现导数的几何意义吗？ 【学情预设】：生：函数 在 处的导数就是曲线在该点处的切线斜率 ，即： 导数的几何意义：  活动2：小组讨论利用导数的几何意义能帮助我们解决哪些函数问题？以f(x)=  为例.【学情预设】：（1）求瞬时变化率.（2）求曲线上某点处的切线方程. 【设计意图】：体会导数的几何意义，抓住求导数的点与切点的联系. （环节三）应用拓展 3. 了解以直代曲思想  例1（课本例5）：图5.1-7表示人体血管中的药物浓度 （单位： ）随时间 （单位： ）变化的函数图像，根据图像，估计 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度  在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．如图5.1-7，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．作  处的切线，并在切线上去两点，如 ， 则该切线的斜率： 所以  活动3：小组合作利用网格估t=0.2,0.4,0.6min时，血管中药物浓度的瞬时变化率 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：
问题6：图中哪条直线最贴近点 附近的曲线？  师：带领学生利用信息技术工具将  发现 越来越接近于直线，引导学生理解以直代曲思想是指某点附近一个很小的研究区域内，曲线与切线的变化趋势基本一致，故可由曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线.以直代曲：在点 附近，曲线 可以用点处的切线T近似代替,这是微积分中重要的思想方法 【设计意图】：通过将曲线一点处的局部“放大、放大、再放大”的直观方法，形象而逼真地再现“以直代曲”思想. 例2（课本例4）：图5.1-6是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数  的图象.根据图像，请描述、比较曲线 在 附近的变化情况.  活动4：小组合作根据图像，请描述、比较曲线  在附近的变化情况.解：我们用曲线  在 、 、 处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．（1）当  时，曲线在处的切线 平行于 轴，所以，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降；（2）当  时，曲线在处的切线 的斜率 ，所以，在附近曲线下降，即函数 在附近单调递减；（3）当  时，曲线在处的切线 的斜率 ，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．从图3.1-3可以看出，直线 的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在 附近比在 附近下降的缓慢．问题7: 比较曲线 在 附近的变化情况.【设计意图】：要求学生动脑(审题)、动手(画切线)、动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用“以直代曲”的思想方法. 导函数：y=f(x)的导函数f'(x)=y'=  (环节四) 归纳总结 【设计意图】：引导学生回顾本节课所学知识并从中体会数学思想与方法，帮助学生建构知识体系。 （环节五）目标检测 1．已知函数  的图像如图所示， 是的导函数，则下列结论正确的是（ ）  （第1题） （第2题） A．  B． C．  D． 2．如图，函数  的图象在点 处的切线方程是 ，则 （ ） A．1 B．3 C． D． 3．下面对函数  , 和 在区间 上的说法正确的是（ ）A．  的递减速度越来越慢， 的递减速度越来越快， 的递减速度越来越慢B． 的递减速度越来越快， 的递减速度越来越慢， 的递减速度越来越快C． 的递减速度越来越慢，的递减速度越来越慢，的递增速度越来越慢D． 的递减速度越来越快，的递减速度越来越快，的递减速度越来越快【设计意图】：检测本课时目标的达成情况 （环节六）分层作业 A组 感受 理解 1.（1）求曲线  处的切线方程.(2)求曲线  点（ ）处切线的倾斜角.（3）课本71页第10题. B组 思考 运用 2.(1)课本71页第11，12题 （2）阅读•理解：收集有关微积分创立的时代背景和牛顿、莱布尼兹的资料. 【设计意图】：尊重个体差异并努力减轻他们学习上的压力,让学困生“吃得了”、中等生“吃得好”、优等生“吃得饱”.给他们尝试成功的机会，让他们树立自信心. 六．教学板书设计
课后反思：
3. 例题及其活动目的是使学生体会“以直代曲”的方法在解决问题中的作用，加深学生对导数几何意义的理解、掌握和应用，同时注意将导数多方面的意义联系起来，有效突破难点.课堂中学生数学符号的表达及数形结合的水平、读图的水平还需提高，希望在以后的教学中不断提高自己的教学理念，让学生有效的“动”起来. |
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视频来源：优质课网 www.youzhik.com
处的切线的斜率.
