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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《幂函数》云南—莫
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云南—莫弘—设计—幂函数
3.3 幂函数
(人教A版 数学 必修第一册 第三章)
昆明市第一中学西山学校 莫弘
一、教学内容及解析
（一）本节知识结构
本节主要内容为幂函数的概念、图象及性质，知识结构图如下：
（二）教学内容解析
在学习幂函数之前，学生在初中已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数四种初等函数，现在要从具体的实例中，结合 这三个学生熟悉的函数，对五个具体幂函数（ ）的共性进行归纳，得出幂函数的概念．本节课还需要通过这五个幂函数的图象归纳出它们的一些性质．
本课内容是人教A版高中数学教科书必修一第三章第三节的内容，是在学生学习了函数的一般概念和性质之后，在高中阶段研究的第一类具体函数．
通过学习幂函数，学生要能够明确研究一类具体函数的基本思路：实际背景→数学问题→基本概念→函数图象→基本性质，并且能体会到如何在一般概念及性质的指导下对一类函数展开深入研究．这不仅仅是对前面所学函数知识的巩固与延伸，也是为后续学习指数函数、对数函数等基本初等函数打下基础．
因此，本节课的教学重点确定为：
（1）幂函数的概念；
（2） 这五个幂函数的图象及性质．
二、教学目标
（1）结合具体的生活实例，让学生从自变量、函数值、解析式等方面概括抽象出幂函数的共同特征，认识幂函数的定义，并能够判断一个函数是否为幂函数；
（2）会画出 这五个幂函数的图象，并能通过图象得到它们的单调性、奇偶性、值域及图象过点 等性质；
（3）在探究幂函数性质的过程中，学会用函数的基本性质研究和解决新函数问题，体会由特殊到一般及数形结合的数学思想方法．
三、学情分析
在学习本课内容之前，学生已经学习过 这三个幂函数，但是没有经历过用一般函数的概念和性质来分析、研究幂函数．幂函数与其他学习过的函数相比，它的图象的位置和形状变化复杂，因为指数稍有变化，图象的位置与形状就有可能发生很大的变化，画幂函数图象时，重点考虑定义域、奇偶性、单调性及曲线的类型，搞清楚这些，对作幂函数的图象大有好处．这里，教师要引导学生思考，结合之前研究函数性质时涉及的内容，为这五个幂函数的性质研究作出铺垫．
另一方面学生在用描点法画 图象时，学生完全不了解这两个函数的特征，画图会遇到困难．
幂函数在第一象限内的图象按如下分类：
当 时，以 为代表；
当 时，以 为代表；
当 时，以 为代表；
当 时，以 和 为代表．
所以研究幂函数时，要先准确把握幂函数在第一象限的特征（与幂指数有关），再通过研究幂函数的定义域，利用对称性即可作出幂函数的图象，进而研究性质，即落实函数定义域和奇偶性．
因此，本节课的教学难点确定为：
（1）观察五个具体幂函数的解析式的共性，归纳抽象幂函数概念；
（2）画出 的图象；
（3）幂函数在第一象限的共同特征和共同性质．
四、教学策略
《普通高中数学课程标准(2017年版)》强调落实数学学科核心素养，教师在教学活动中应把握好数学的本质，通过创设合适的教学情境，提出合适的数学问题去引发学生思考与交流．作为教学内容的生长点，教学中的各个问题并不是独立存在的，而应具有递进性与联系性，利于引导学生进行层次化、递进化和高效化的数学学习，引发深度数学思考，更深刻、透彻和准确地把握新知．
本节课教学策略以探究式学习为主，以问题叠加和递进为原则，精心设计“问题串”（10个问题）将整节课的教学环节串联起来，将问题解决与学生的学习相融合，激发学生在解决问题过程中主动探索的欲望和积极性，使学生在6个分组活动和2个探究活动问题解决中引发主动探索的欲望和积极性，使学生活动的过程中进行连贯、系统的思维活动，从而习得知识，获得能力，发展思维，促进学生数学核心素养的提升．
本节课有3个教学难点，都是通过学生小组合作、充分探究后得出结论，教师再进行总结的方式进行突破，学生能在合作探究的过程中，体验幂函数的图象、性质的归纳总结过程，加深对数学知识的理解，落实核心素养的养成．
五、教学过程设计
（一）创设问题情景 归纳抽象概念
全国每10朵鲜花，就有7朵来自斗南．昆明斗南国际花卉中心是全国唯一的国家级花卉交易中心，也是亚洲第一、世界第二的花卉拍卖中心，实现连续24年交易量、交易额现金量、交易人次和出口额居全国第一．某游客慕名而来，准备购买一些玫瑰花．
（1）斗南花市今天某种玫瑰花价格为1元/支，游客买了 支，需要支付金额（元） （元），这里 是 的函数；
（2）游客购买完玫瑰花，需要对玫瑰花进行包装，包装所用纸箱是一个边长为 的正方体，则纸箱占地面积 ，纸箱体积 ，这里 和 都是 的函数；
（3）该游客购买玫瑰花的摊位刚好是一个面积为 的正方形，那么摊位的边长 ，这里 是 的函数；
（4）购买好玫瑰花后，游客租用了一张三轮车把打包好的花运送到1 外的停车场，用时 ，那么运送的速度 ，这里 是 的函数；
问题1：在这几个实际问题中，有哪些我们已经学过的函数，有哪些我们不熟悉的函数？
答案： 分别是一次函数、二次函数、反比例函数， 是两个不熟悉的函数．（教师直接给出 ）
【设计意图】通过一段关于斗南花市的视频，引出学生熟悉的生活情境，精心设置问题串，让学生应用所学知识抽象出函数解析式，获得幂函数的感性知识，体会数学与人们日常生活密切相关，为下一步抽象幂函数的定义作铺垫．
问题2：从自变量、函数值及解析式的结构观察 这5个函数，都有什么共同特征？
通过总结学生的回答，得出结论：它们分别是 这五个函数，这些函数的解析式都具有如下特征：
（1） 的系数为 ；
（2） 的底数是自变量；
（3） 的指数为常数，分别是 ；
它们都是形如 的函数．
教师给出定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数．
追问：你能举出一些幂函数的例子吗？
学生活动1：学生通过小组活动，学生举出幂函数的例子，相互判断举的例子是否为幂函数．由一个小组提出5个幂函数的例子，另外一个小组进行判断是否为幂函数．
【设计意图】通过举例和相互判断，可以评价学生是否正确理解幂函数的定义，促进学生正确理解幂函数的结构特征．
（二）探究图象性质，体验研究方法
问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质呢？
根据以往的经验，我们是从具体函数的图象和性质中，寻找共同点和不同点，从而归纳出一类函数的图象特征和性质．（由特殊到一般）
问题4：在高中阶段，我们只研究 这5个幂函数的图象和性质，结合我们在第二章所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？
通过学生的回答，总结如下：我们应该讨论函数的定义域、单调性、奇偶性、值域等性质．
【设计意图】学生在初中学过的第一个函数为正比例函数，是通过观察图象，总结得到正比例函数性质，这里通过回顾研究函数的一般方法，明确研究幂函数的一般思路．
学生活动2：五个函数中， 是我们非常熟悉的函数，各位同学在同一个坐标系（图1）中画出它们的图象．（邀请一名学生上黑板画图．）
图1
问题5：你能结合图象说说 的定义域、奇偶性、单调性、值域吗？
| 定义域 | R | ||
| 值域 | R | ||
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 |
| 单调性 | 增函数 |
上单调递减 上单调递增 |
上单调递减 上单调递减 |
| 定义域 | R | ||||
| 值域 | R | ||||
| 奇偶性 | 奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | 既不是奇函数也不是偶函数 | 奇函数 |
| 单调性 | 增函数 |
上单调递减 上单调递增 |
上单调递减 上单调递减 |
增函数 | 增函数 |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
