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视频标签：应用二元一次,方程组,里程碑上的数
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视频课题：初中数学北师大版八年级上册应用二元一次方程组—里程碑上的数-九江
教学设计、课堂实录及教案：初中数学北师大版八年级上册应用二元一次方程组—里程碑上的数-九江外国语学校
第五章二元一次方程组
5. 应用二元一次方程组——里程碑上的数
【教学目标】
1.知识目标
1）用二元一次方程式组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。 2）归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。
2.能力目标
让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实 世界的有效数学模型，让学生学会列方程组解决实际问题的一般步骤。 3.情感目标
在本节课上让学生体验把复杂问题化为简单问题的同时，培养学生克服困难的意志和 勇气，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。
【教学重点】用二元一次方程组刻画学问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。 【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。 【教学过程】 第一环节课前热身
1.一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：10ｘ＋ｙ. 2.一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数可表示为： 100ａ＋10ｂ＋ｃ.
3.一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数， 则这个三位数可表示为：100ａ＋ｂ.
4.已知ａ是一个两位数，ｂ是一个三位数。若把ａ放在ｂ的左边，得到一个五位数，则这个五 位数可表示为：1000ａ＋ｂ.
第二环节情境引入（学生表演，情景展示）
有一对父子，他们的年龄都是一个两位数。下面是父子两人对话： 爸爸说: “咱俩的年龄之和才68岁，爸爸还是很年轻的！”
儿子说:“若把你的年龄写在我的年龄的左边，得到一个四位数；若把你的年龄写在我的年龄的 右边，同样得到一个四位数。”
爸爸说:“如果这样的话，前一个四位数会比后一个四位数大2178，这样看来爸爸已经很老了！” 聪明的同学们，听完他们的对话，你认为爸爸是很年轻还是很老呢？你能求出这对父子的年龄 吗？
【分析】
列方程（组）解应用题的关键是找等量关系。本题有两个等量关系：
1.（父亲年龄）+（儿子年龄）= 68
2.（前一个四位数）-（后一个四位数）= 2178
解：设爸爸年龄为x岁，儿子年龄为y岁，根据题意得： x＋y＝68
（100x+y）－（100y+x）＝ 2178
整理得： x＋y ＝68 解方程组得： x = 45 x-y ＝22 y=23
答：爸爸的年龄为45岁，儿子的年龄为23岁。
第三环节学以致用
一个两位数，它的十位数字与个位数字的和为7.如果将这个两位数的十位数字与个位数字对调，那么所得的两位数比原两位数小27，求原来的两位数。
【分析】
此数字问题应考虑设间接未知数，即设数位上的数字。 解：设原来两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得：
x＋y ＝7 解得： x=5
10x+y-27＝ 10y+x y=2 答：原来的两位数为52。
第四环节例题赏析
例1 甲、乙二人在一环形场地上从 A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟后两人首次相遇此时乙还需要跑 300米才能跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长。
【分析】
1.行程问题的基本等量关系是：路程=速度×时间
2.环形问题中同向追及问题的等量关系是：快者路程-慢者路程=1圈 解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米。 根据题意，得: y=2.5x×4-4x 解得： x=150 y=4x+300 y=900
所以，2.5x=2.5*150=375
答：甲、乙二人的速度分别为375米/分，150米/分，环形场地的周长为900米。
例2 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况。你能确定小明在12:00时看到的里程碑上的数吗？
12:00是一个两位数，它的两个数字之和为7； 13:00十位与个位数字与12:00所看到的正好颠倒了； 14:00比12:00时看到的两位数中间多了个0． 【分析】
设小明在12:00看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么
时刻 百位数字
十位数字
个位数字
表达式 12:00 x y 10x+y 13:00 y x 10y+x 14:00
x
0
y
100x+y
相等关系：1. 12:00看到的数，两个数字之和是7， 2. 每隔一小时的路程差相等。
解：设小明在12:00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ,根据题意，得: x＋y＝7 ，
（10y＋x）－（10x＋y）＝（100x＋y）－（10y＋x） 解方程组：x＋y ＝7，
（10y＋x）－（10x＋y）＝（100x＋y）－（10y＋x）.
整理得： x＋y＝7，解得：x = 1 y＝6x. y = 6 因此，小明在12:00时看到的里程碑上的数是16．
提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后根据等量关系列方程。 【小结】
对较复杂的实际问题可以通过列表格的方法帮助理清题中的未知量，已知量之间的数，以便根据等量关系列方程（组）。
第五环节巩固提高
甲、乙两人分别从相距 30千米的 A，B两地同时相向而行,经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到 B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，你能求出甲、乙两人的速度吗？
解：设甲的速度为为x千米/时，乙的速度为y千米/时。 （1）当两人相遇之前相距3千米时，根据题意，得: 3x＋3y＝30-3 解得： x=4 30-5x＝2(30-5y) y=5
(2）当两人相遇之后相距3千米时，根据题意，得: 3x＋3y＝30+3 解得： x=3
15
30-5x＝2(30-5y) y=3
25
综上，甲的速度为 4千米/时，乙的速度为 5千米/时；或甲的速度为31
5千米/时，乙的速度为
3
2
5
千米/时。
【小结】
解有关行程问题的应用题时，要注意分类讨论的数学思想。
第六环节能力升华
你愿意当一次编题小老师吗？
请以小组为单位开展讨论，根据实际背景编一道应用题，使得其中的未知数满足方程组：
x+y=3600
8060yx
=50 试试看，比比谁做得更好！
第七环节课堂小结
通过本节课的学习你有什么收获？
1.关于数字问题的应用题，一般情况下要设间接未知数（设各个数位上的数字），用这些未知数表示相关数量，再根据等量关系列方程(组)。
2.对较复杂的实际问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量，已知量之间的数，以便根据等量关系列方程（组）。
3.解有关行程问题的应用题时，要注意分类讨论的数学思想。 4.用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
①审清题意；②找出等量关系；③设未知数x,y；④列出二元一次方程组； ⑤解方程组；⑥检验；⑦作答。
第八环节课后作业
A组：
1）小亮和小明做加法游戏，小明在第一个加数的后面多写一个0，所得和是242；小亮在另 一个加数的后面多写一个0，所得和是341，求原来的两个加数分别是多少?
2）甲、乙两人相距42km，如果两人从两地相向而行，2小时后相遇，如果二人同时从两地出发， 同向而行，14小时后乙追上甲，求二人的速度。
3）汽车在上坡时速度为28km/h，下坡时速度42km/h，从甲地到乙地用了4小时30分，返回时用了4小时40分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？
B组：
1）一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？
2）A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？
3）儿子问父亲今年多大，父亲笑着对儿子说：“我像你这么大时，你才1岁；当你像我这么大时，我已经 67岁了！”你知道父子俩今年各多少岁吗？你有几种解决问题的方法？
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