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视频标签：勾股定理的应用,空间最短,路径问题
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视频课题：初中数学人教版八年级下册第十七章《勾股定理的应用—空间最短路径问题》陕西
教学设计、课堂实录及教案：初中数学人教版八年级下册第十七章《勾股定理的应用——空间最短路径问题》陕西
《勾股定理的应用——空间最短路径问题》教学设计
教材地位及作用
本节是是在学生学习了勾股定理的基础上进行的，是对勾股定理在生活中应用
广泛性的初步认识。因此在教学中既要注重知识的前后联系，也要体现知识的实用性、趣味性和创新性特点。而在这些具体问题的解决过程中，需要经历几何图形的抽象过程，需要借助观察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用意识；探究活动具有一定的难度，需要学生相互间的合作交流，有助于发展学生合作交流的能力．
教学目标：
【知识与技能】
1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题；
2. 学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念． 【过程与方法】
1.经历运用勾股定理解决实际问题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.
2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。 【情感、态度与价值观】
1．通过有趣的问题提高学习数学的兴趣．
2.培养学生运用所学知识解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识；
3.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其他方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识．
教学重点：
1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题； 2.探索空间与平面图形之间的关系.
教学难点：
熟练运用勾股定理解决最短路径实际问题，增强学生的数学应用能力.
关键点：引导学生将实际问题抽象成几何图形，渗透建模思想。 课前准备：
制作正方体、长方体、圆柱等教具.
教法方法：
互动式教学、合作探究学习.
教学过程：
一、复习旧知，引入新课 出示图片
老师最近在我们学校发现了一种奇怪的现象，花园靠近路口的一角被沿对角线踏出了一条“斜路”，请问同学们：
（1）他们为什么要走“斜路”呢？
（2）假设它是一块长方形花园，这些同学为了避开拐角走“捷径”， 请计算他们仅仅少走了________步路, 却踩伤了花草。 （假设1米为2步）
[设计意图]：通过情景复习公理：两点之间线段最短；通过勾股定理的运用，对学生进行社会公德教育，体现了数学教学的德育意义.
二、情境引入， 活动探究 活动一：自主探究
(1) 在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
(2) 已知圆柱的高为9，半径为4，（π取3）。求最近路径。
（画画看，蚂蚁从A点到B点的最短路径）
让学生发现：圆柱体侧面展开后得到矩形的长和宽与圆柱体的关系。研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，先引导学生在展开图中正确找到点B的位置，再利用勾股定理求解。
（2）解：将圆柱如图侧面展开，
由题意得AC＝9，BC＝2πr×0.5=πr=3×4＝12 在RT△ABC中，根据勾股定理：
∵ AB2 ＝ AC2＋BC2 =92+122=81+144=225=152 ∴AB＝15
答:蚂蚁爬行的最短路程是15cm.
[设计意图]： 从学生熟悉的生活场景引入，提出问题，激发学生探究热情，为下一环节奠定了良好基础．
活动二：合作探究
如图，一只蚂蚁沿着边长为1的正方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？提问：蚂蚁可行的路线可能不止一条，你能找出几种出来？ （学生以小组为单位，合作探究蚂蚁爬行的最短路线.）
学生以小组为单位，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，和路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。
同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿棱展开，根据“两点之间，线段最短”，以便发现最短路程.在上面的几种路线图中利用勾股定理易得最短路线5AB，所以蚂蚁爬行的最短路程为5.
[设计意图]：通过学生的合作探究，先确定最短路径。找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法，将曲面最短距离问题转化为平面最短距离问题并利用勾股定理求解．在活动中体验数学建摸，培养学生与人合作交流的能力，增强学生探究能力，操作能力，分析能力，发展空间观念．
活动三：阶段小结
归纳求空间最短路径长度的解决步骤： （1）确定最短路径
方法：将运动所经过的外表面展开
最短路径就是在展开平面内两点间的线段 （2）求线段长度
方法：利用勾股定理求斜边
活动四：合作探究 在长40cm、宽30 cm、高50 cm的木箱中，蚂蚁在箱内的A处，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？分组活动，代表发言.
有了活动二的探究经验，学生很容易在解决问题的时候进行分类讨论.若把长方体的6个面分别称为上面、下面、前面、后面、左面、右面。
显然，从A到B的最短路线一定是从A出发，经过长方体两个面到达B.具体来说，它可能有“前上”、“前右”、“左上”、“左后”、“下右”、“下后”6种不同的情况（当然，“下右”、“下后”2种情况，在实际问题中不具有可行性）.在这6种情况中，共有3种长度结果：充分讨论后，汇总各小组的方案画出最短路径的展开图并讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。
第一种结果：(“前右”与“左后”) 如①图所示22(4030)507400AB
第二种结果：(“前上”与“下后”) 如②图所示22(5030)408000AB
第三种结果：（“左上”、“下右”） 如③图所示22(5040)309000AB 综上所述，最短路程应为7400=1074
[设计意图]：从不同情况的分析，学生可以感受到数学的学习需要全面的考虑问题，反过来，数学的学习又能帮助我们全面的考虑问题。那么让学生共同努力，学好数学，从而更全面的去考虑、看待生活中的问题.
总结提升：
给出一个长方体，设它的长、宽、高分别是a、b、c，且a<b<c.将其展开，可以得到以下三种情况：
蚂蚁沿着长方体表面从A爬到B的最短距离的平方分别是：
三、巩固练习
1. 一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
2．如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？
3.有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直径为20cm， 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.如果在盒内下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒内对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计，结果可含π)
五、课堂小结
通过这节课的学习谈谈你的收获： 六、作业布置
1.改编蚂蚁怎样走最近的情景，如一滴蜂蜜 在圆柱体内部„„等等，尝试解决问题。
2.寻找生活中应用勾股定理的例子，改编成应用题并解决。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
