本站QQ客服在线 |
视频标签：最短路径问题
所属栏目：初中数学优质课视频
视频课题：人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-北京
教学设计、课堂实录及教案：人教课标版八年级上册13.4 课题学习最短路径问题-北京市海淀区教师进修学校附属实验学校
再谈数学中的优化问题——最短路径
年级
初二
学科
数学
教学背景分析
（一）对课标的理解与把握
《数学课程标准》指出，“无论是设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生会的知识技能，而且要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯．”本节课设计考虑以已有知识为基础，让学生经历数学知识应用过程提，高分析和解决问题的能力；鼓励学生自主探索与合作交流，注重形成探索解决新问题思路的方法． （二） 教学内容分析
最短路径在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等图形变化进行研究.
本节课安排在学习轴对称性质和等腰三角形之后，以数学史中的一个经典问题——将军饮马问题为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，是对轴对称性质的理解和运用，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）问题，体现了数学化的过程和转化思想，发展数学抽象能力. （三） 学生情况分析
学生已经学习了轴对称和等腰三角形，最短路径从本质上说是最值问题，最值问题有很多贴近学生的生活实际，作为初中生，已经涉及到的最值问题有“两点之间”和“直线外一点与直线之间”，相对比较简单.
刚上初二学生已经初步具备抽象能力，但还处于经验水平阶段，对于线段和最小问题，由于两条线段长度都在发生变化，对情景的抽象比较容易，但对于问题的抽象存在一定困难.将问题与已有经验建立联系学生是有这个意识的，如何建立联系将问题转化，一些学生会存在理解和操作上的困难.
教学目标
1.能够将实际生活中的最短路径问题转化成数学中抽象的几何图形，将路径和最小问题用数学符号中的点、直线等表达；
2.经历“数学抽象、独立思考、画图尝试、交流感悟、理性思考”的探索过程，能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想；
3.在探索过程中，培养学生的合作交流意识和探索精神；感悟解决问题的方法，提高探索和解决问题的能力.
教学重点和难点
教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为两点之间线段最短问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 教学资源、教学手段和主要教学方法
多媒体课件（ppt和几何画板）、圆规、三角板、激光笔、小镜片 多媒体、教具辅助教学
自主探究、合作交流、对话式教学法 教学设计思路
情景导入 问题再续
数学抽象 独立探索 合作交流 追根溯源
迁移运用 感悟转化
系列推广 归纳总结
第2页 共4页
教学过程 教学环节 教师为主的活动
学生为主的活动
设计意图
一、 情境 导入 ， 问题 再续． 二、 数学 抽象 ， 独立 探索 三、 合作 交流， 追根 溯源
教师出示幻灯片：
情景1: 老虎到狐狸洞 情景2: 行人过人行横道 提出问题：观察这两个情景，选择哪条路最近？理由是什么？ 教师创设一个探究情景：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 【问1】要解决这个问题首先需要做什么？（如图1，演示几何画板） 【问2】用自己的语言说说问题是什么？ （如图2）
【问3】怎么找到点C位置呢？
巡视，观察学生所画图形，关注找点C的不同方式.让学生展示自己的画法
【问4】运用轴对称后，为什么“两点
之间线段最短”能说明“AC+BC”最短？
学生观察，表达自己想法 学生说出理由分别是“两点之间、线段最短”和“垂线段最短”
学生将实际问题抽象成数学问题，画出图形 lBA
图1 lCB
A图2 明确问题：在l上求作一点C，使AC+BC最小
学生独立思考，画图尝试；交流（为什么这样找点C） 学生在黑板上画图
（预案3个或更多） 预案 lB
A
lBA
C'
l
C'
C
B'
BA
„„ 学生说明自己找点C的方式，说出“它使得路径最短的依据” 有画面感，更容
易吸引学生注意力，学生的参与度高，引出后续
问题
经历将实际问题
数学化的过程，即将实际问题中的地点、河抽象成数学中的点、直线等图形，将
问题表达成线段
和最小形式，从而将最短路径问题抽象为“线段
和最小问题”.
鼓励学生明确问
题并表达
发挥学生的主体作用；培养学生
在探索中寻找解决问题办法的能
力．
通过对不同画法的分析、对比，调动学生思维的积极性，为学生从感知阶段过渡到理性思考提供问5】怎样证明“AC+BC”最短？
【问6】怎么想到用轴对称找点C的位置？
教师几何画板展示两种特殊化、简单化
的情况.
教师提供其他视角：光的反射 教师演示. 【阶段梳理】探索“将军饮马”问题经历了怎样的过程？ 教师改变情境1创设新的探索情境：将军的前方有一片草地，马儿吃完草后去饮水，又回到原驻地，如图所示，将军怎么走路径最短？
草地
河OABP
教师巡视，关注学生是否理解问题并运用所学解决问题.请学生展示找两个点的画法.
【问】我们研究了“点与点、点与线、能够在l上任找一点D（与点C不重合），运用轴对称性质将两条路径和转移到三角形中，依据“两边之和大于第三边”比较大小
lCB'BAlC
B'B
AD 观察几何画板的演示，调整完善自己的认识和理解 lBA
lC
BA 反射角入射角
l法线
C
B'A
B入射光
反射光
学生观察
学生表达出自己想法，如，数学抽象，用轴对称“化折线为直线”等
学生独立解决，画出图形
预设
DC
P''P'OAB
PP''O
ABP
学生思考，并交流想法
学生思考并提出问题 预设：增加一个点，将点移动到角的
机会．
引导学生从位置上和数量关系上观察变化，充分感知
提倡学生跨学科认识问题
提供学生对自己
的想法进行反思的机会，感悟解决问题的着眼点
和思考方式 学生感受提出问题的方式
获得解决问题的转化方式，能与已知问题建立联系
引导学生改变图
形的相对位置或
第4页 共4页
五、 系列 推广 ， 归纳 总结
两点一线、两线一点”，你能在它们的基础上提出不同的最短路径问题吗？ 【小结】本节课探索中你有怎样的想法和收获？ 【作业】 A 基本要求：梳理问题1和2的画法和方法； B 略高要求：解决课堂上同学或老师提出的其他最短路径问题（选择两个）
外部等 O
ABPQOABP O
A
B
P
„„ 可以从“运用知识、方法、探究过程”和“如何提出问题、解决问题”方面总结
数量形成新的最短路径问题.
加深对问题转化的理解，如何转化的认识，通过
小结为学生创造分享交流的空间 板书设计
13.4 再谈优化——最短路径 学生板书
小结 问题1 问题2
实际问题
抽象↓
数学问题（线段和最小） 转化↓ 轴对称↓折转直 已知问题（两点之间） 学习效果评价
预期看到学生将两点在直线同侧转化为异侧，在第二环节中的独立思考阶段，会巡视观察有多少百分比的学生能够用轴对称将问题转化，后面会设计3个观察点，其一是学生交流后增加多少，其二是探索1结束后，其三是探索2结束后；
预期看到学生能否提出新的问题，提出问题是否有策略，观察点会设计最后提升环节，后续会在作业及课堂中，看学生提出问题的方式有什么特点； 预期看到学生面对新问题时，能否在它与已知问题之间找到联系和转化方式，在后续课堂都会有相应的观察.
教学设计特点及反思
本节课设计考虑以学生为主体，在此基础上 1.重视培养思维能力，跨学科新视角
本节课教师抛出将军饮马问题后，让学生经历数学抽象的过程，将问题图形化、符号化，给学生充分的时间画图尝试，学生与已有的经验、方法结合时会出现不同的画法，教师运用学生这些资源追问学生想法或请其他同学提出问题，达到调整学生思考解决问题是否合理的目的，而通过几何画板的动画特点，让学生看到思考新问题时如何将其简单化特殊化的过程，从中受到启发，寻找合理的方式进行探索，让学生经历数学抽象和运用数学知识解决问题的过程，领悟探究过程中用到的数学思想方法；
从物理学科光的反射看路径最短问题，形成新视角认识问题. 2. 注意问题系列化整合教学内容
本节课从学生已有的点与点、一点一线之间路径最短问题，延续到两点一线、两线一点、两点两线„„，还可以延续到高中“体”的参与，形成问题系列，将最短路径问题的研究延续下去，有利于学生思考解决问题的探索策略和思路，逐渐产生提出问题的意识、方法和能力.
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
