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视频课题：人教版初中数学七年级下册平方根2探秘根号2-北京
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人教版初中数学七年级下册平方根2探秘根号2-北京市玉渊潭中学
北京市玉渊潭中学学科教学设计
基本信息
年 级 初一年级
教科书版本及章节
人教版6.1
学习领域/模块
数与代数
单元教学设计
单元学习主题 第六章 实数
1. 单元教学设计说明
(1)加强与实际的联系
本章内容与实际的联系非常密切，例如算术平方根是从已知正方形的面积求它的边长、立方根是从已知立方体的体积求它的棱长等典型的实际问题引出等等，将本章内容与实际紧密联系起来，可以使学生在解决实际问题过程种，更好地认识实数的有关概念和运算. (2)加强知识间的纵向联系，突出类比的作用
本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此设计时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好地体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化. (3)加强数学思想方法的引导语渗透
本章类比有理数，引入实数的相反数、绝对值等概念，以及实数的运算和运算律，教学时应注意引导学生体会类比这种研究方法的作用.实数与数轴上点是一一对应的，因此，可以利用数轴将“数”与“形”联系起来，这不仅对理解实数的有关概念及运算很有帮助，而且对后续学习数学乃至研究数学都将产生深远影响.让学生初步认识“数形结合”的思想方法的作用.
2.单元学习目标与重点难点
学习目标：
(1)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算数平方根、平方根、立方根. (2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值. (4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.
重点：算术平方根、平方根的概念和求法以及实数的概念. 难点：平方根和实数的概念.
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3.单元整体教学思路（教学结构图）
(1)单元教学阶段规划
分三阶段进行：平方根部分为第一阶段；立方根部分为第二阶段；实数部分为第三阶段. (2)本章教学约8课时，具体分配如下（仅供参考） 6.1 平方根 约3课时 6.2 立方根 约2课时 6.3 实数 约2课时 小结 约1课时 (3)本章知识结构图
课时教学设计
课题 探秘2 课型
新授课
1. 教学内容分析
2是人们最早认识的无理数之一，它的发现引发了数学史上的第一次危机，是数学发展史上的重要里程碑，不仅如此,2也是第一个教科书中用根号表示的无理数(这时还没给出无理数的概念)，是无理数的经典代表之一；2 的研究过程和方法具有普遍性，可以迁移到研究其他用根号表示的无理
数.
本节课希望通过对2 的探究和认识，从知识层面，可以使学生从几何和代数两个角度了解无理数的存在性，了解无理数是一个无限不循环小数，能用有理数估计它的大小；从方法层面，加强学生估算能力的培养，了解并掌握如何用有理数逼近无理数；从情感态度的角度，培养学生参与数学活动的积极性，培养对数学的好奇心和求知欲.
2. 学习者分析
在2出现以前，学生已经知道乘方运算，通过观察的方法求出一些完全平方数的算术平方根，但
对于像2这样的非完全平方数，如何求它的算术平方根，对学生来讲是个新问题. 本节课通过折纸认识第一个无理数2，探究“
有多大”的问题的过程，采用夹逼的方法，利用2的一系列不足近
似值和过剩近似值来估计它的大小，体现了“数学中的无限逼近的思想”并使学生体验 “无限不循环小数”的含义，为后面学习实数做好铺垫.能用有理数估计一个无理数大致范围，并能用估算法解决一些简单的实际问题,是课程标准对本节课的要求.但逼近法在以前的学习中从未出现过，学生一下子很难体会它的妙处，思维也很难展开，对学生综合运用知识的能力有较高的要求,可以通过实践操作利用折纸帮助学生直观感受、理解.
乘方 开方
互为逆运算
开平方
开立方
平方根 平方根
实数
实数的概念
实数的运算
实数在数轴上的表示
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3. 学习目标确定
（1）通过拼图活动，从几何角度了解2 的存在性；通过几何方法找到2 在数轴上的位置，明白数轴上的点不仅仅表示有理数.
（2）通过探究2 的大小，从代数角度了解无理数的存在性；了解有理数夹逼的方法，能利用不足近似值和过剩近似值来估计2 的大小.
（3）通过视频，猜想π及2 的“无限不循环性”的可能价值（目前数学界尚未证明，仍是猜想），激发学生学习数学的兴趣.
4. 学习重点难点
重点：从几何角度了解2 的存在性、从代数角度探究2 的大小，会用有理数逼近无理数，得到2 越来越精确的近似值.
难点：逼近法估计一个（无理）数的大小的思想，认识无限不循环小数的特点.
5. 学习评价设计
本节课以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，充分调动学生的积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验.
6.学习活动设计 教师活动
学生活动
【探究活动一】 拼一拼 寻找2 教师活动1
任务1：能否用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？
学生活动1
任务1是前一天的课后作业，课堂由学生展示交流，描述操作过程. 总结两组正确拼法：
- 4 -
任务2：观察这个面积为2的大正方形，它的边长是多少？
任务3：沿着大正方形的对角线将其分成4个三角形，这四个三角形有何特点？
任务4：利用三角板、圆规，在数轴上找到表示22、- 的点
学生思考回答： 解：设大正方形的边长为x ，则
22x
由算数平方根的意义可知
2
x
所以大正方形的边长是2
学生思考后交流，引导学生发现可以用该直角三角形，构造长度2.
学生小组交流，通过几何方法找到2 在数轴上的位置，使学生明白数轴
上的点不仅仅表示有理数.
活动意图说明:任务1、2通过实际问题的操作探究，使学生明白不是所有的被开方数都可以表示
成一个有理数的平方，而实际生活中也确实存在这种情况，从而激发学生学习积极性；任务3的价值是引导学生发现直角边为1的等腰直角三角形 的斜边长即为2，也为下一步学习全等三角形做铺垫；任务4的设计，帮学生找到2在数轴上的位置，使学生明白数轴上的点不仅仅表示有理数，扩充了数轴上的点所表示的数的范围，为6.3实数的学习做铺垫.
- 5 -
【探究活动二】 2有多大？
教师活动2
任务5： 2有多大？为了弄清这个问题，请同学们探究2在哪两个相邻整数之间？
【追问1】 2 是1点几呢？你能不能得到2 的更精确的范围？
【追问2】 你知道2背后的故事呢？
教师讲述关于2 的故事
学生活动2
学生思考、讨论并大概估计2有多大，由任务4通过数形结合，直观可知2 大于1而小于2.
在拼图环节和在数轴上找到表示2的点两个环节中，已经做好铺垫，学生试验可得到平方数小于2且最接近2的1位小数是1.4，而平方数大于2且最接近2的1位小数是1.5，所以2 大于1.4且小于1.5……，用类似的方法反复上述过程，说明是2 一个无限不循环小数，以及什么是无限不循环小数．
活动意图说明：在探究活动中加强培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受两个方向
无限逼近的数学思想，发展学生的抽象思维．了解无限不循环小数的特征，为后面学习实数做铺垫；追问（2）通过2 背后的故事，引导学生学习无理数之父希帕索斯不畏权威，敢于创新，勇于追求真理的精神，同时大大提高学生探究的兴趣.
- 6 -
【环节三】 初步应用
任务6：许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小
数，如 3、5 、6 、7 等．你能根据估计2 的大小的方法，估计3 的整数部分是多少？5呢？
【追问】你对正数a的算术平方根的结果有了怎样的认识？
学生在独立思考的基础上，学生交流，
在与学生沟通的过程中及时发现学生探究过程中的困难，给予及时指导帮助, 引
导学生对探究结果进行总结和交流.
让学生对带有根号的数能进行分类： （1）当a能表示成有理数的平方时， a
是一个有理数；
（2）当a不能表示成有理数的平方时，
a 是一个无限不循环小数.
活动意图说明：任务6主要为了及时巩固估算方法．让学生会用有理数逼近无理数；追问设计目
的是为了让学生及时归纳总结. 【环节四】 归纳小结
师生共同回顾2的探秘过程，并谈谈本节课的收获（或疑问）
【环节五】 布置作业
(1)再探2，自学课本第58页阅读与思考“为什么说2不是有理数？”的证明. (2)教材第44页的第2题；第47页的第6题
7.板书设计 课题
1、寻找2 2、2有多大 3、课堂练习 4、归纳小结 …… …… …… …… …… …… …… ……
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8.作业与拓展学习设计
1.估计19的值在（ ）
A、 2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间 2.估计16 的值在（ ）
A、2到3之间 B、3到4之间 C、4到5之间 D、5到6之间 3.已知a ,b为两个连续的整数，且ba11，则a+b= . 4.试比较下列各组数的大小
(1)4与15 （2）140与12 （3）72与6 （4）2
15与0.5
5.已知：a是17的整数部分，b-1是121的算术平方根，求：
9.特色学习资源分析、技术手段应用说明
学习资源分析
（1）2的发现，产生了第一次数学危机.教师讲述有关2的故事，通过2 背后的故事，引导学生学习无理数之父希帕索斯不畏权威，敢于创新，勇于追求真理的精神，同时大大提高学生探究的兴趣.
（2）观看视频《疑犯追踪》第二季 第11集 09.51---11.30间，约两分钟，使学生明白学习π等无限不循环小数的意义，了解数学在实际生活中不可替代的地位. 技术手段
电脑投屏，作为教师播放课件之用.iPad实物投影，作为分享学生作品之用
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
