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视频标签：空间向量的数量,积运算
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视频课题：高中数学人教版高二选修2—1第三章空间向量的数量积运算-吉林省优课
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高中数学人教版高二选修2—1第三章空间向量的数量积运算-吉林省优课
空间向量的数量积运算(理)
【学习目标】
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法
2．掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律． 【学法指导】 【重点难点】
重点：掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律． 难点：掌握两个向量的数量积的主要用途 【学情分析】
数量积是向量最重要的运算，利用数量积可以求向量的模、两个向量的夹角；通过类比平面向量的数量积，学习空间两向量的数量积．通过向量积的运用，培养数学应用意识. 自主学习内容
回顾旧知：
平面向量数量积的公式 二、基础知识感知
阅读教材第90—62页内容，然后回答问题 一、空间向量的夹角
1．如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→
＝b，则∠AOB叫做向量a，b的________，记作________．
2．
a，b＝b，a，a和b的夹角的范围是________，其中当a，b＝0时，a
与b________；当a，b＝π时，a与b________.
3．当a，b＝π
2
时，a与b________.
4．若a∥b，则a，b＝________，若a⊥b，则a，b＝________. 二、空间向量的数量积 1．数量积的定义
(1)已知a，b是两个非零向量，则________叫做a，b的数量积，记作________，即a·b＝________.
规定，零向量与任一向量的数量积为________，即0·a＝________.
(2)a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的________的乘积． 2．数量积的运算律
(1)(λa)·b＝________. (2)交换律：a·b＝________. (3)分配律：a·(b＋c)＝________.
3．数量积的性质
两个向量数
[来源学科网Z,X,X,K]
量积的性质
若a，b是非零向量，则a⊥b⇒________[来源:Zxxk.Com]
若a与b同向，则a·b＝|a||b|；
若反向，则a·b＝________. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a
若θ为a，b的夹角，则cos θ＝________ |a·b|≤|a||b|
2．空间向量数量积的性质及几何意义
(1)空间向量的数量积a·b可以为正，可以为负，也可以为零． (2)若向量a，b是非零向量．则a·b＝0⇔a⊥b. (3)特例与变形：
①若a是单位向量，则a·b＝|b|cosa，b；
②cos<a，b>＝a·b
|a||b|；
③a·a＝|a|2.
(4)几何意义：a与b的数量积a·b等于a的长度|a|与|b|在a的方向上的投影|b|cosa·b
的乘积．
3．空间向量数量积运算与运算律
向量的数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，不满足： ①消去律，即由a·b＝b·c不能推出a＝c，即向量不能约分；
②乘法结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立，这是因为(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，但c与a不一定共线．
三、探究问题
重点1 空间向量的数量积的运算
[例1] 如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值： （1）EF→·DC→； (2)AB→·CD→.
小组讨论问题预设：
变式1 设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，那么(a＋3c)·(3b－2a)＝________；(2a＋b－3c)2＝________. 课堂展示问题预设：
重点2 利用空间向量的数量积求夹角
[例2] (2014·山东高密高二检测)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱BC和CC1的中点，求异面直线AC和MN所成的角．
课堂训练问题预设：
变式2 如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量A1C1→与DE→所成角的余弦值
整理内化：
1、课堂小结
2、本节课学习内容中的问题和疑难
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