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视频标签：空间向量的,数量积运算
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视频课题：高中数学人教版高二选修2—1第三章空间向量的数量积运算-浙江省
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教版高二选修2—1第三章空间向量的数量积运算-浙江省 - 宁波作业题详细解答
教材内容解析
本节课是人教A版选修2-1第三章3.1.3的内容。
该内容旨在将平面向量的数量积运算推广到空间,使学生会求空间向量数量积,并能利用空间向量的数量积度量空间两条直线的夹角和空间线段的长度,进而利用它们来证明空间直线、平面位置关系的一些定理(三垂线定理及直线与平面垂直的定理),使学生初步体会空间向量在解决立体几何问题中的应用,为将来应用空间向量解决立体几何问题打下坚实基础。
基于以上分析,教学内容应在类比和转化的方法引领下,强调空间向量数量积的概念和计算、几何意义、运算律和应用。应用主要在求角和求距离方面(教材安排的两道证明题目的在于利用空间向量证明线线垂直和证明线面垂直的判定定理,可将这类问题统归为角度即直角的问题)。
重点在空间向量的数量积运算和在空间几何中的应用;
难点在于空间向量在立体几何中的应用;
易错点在于运算律的应用;
2教学目标设置
从知识技能、过程方法和情感态度价值观方面共设置六条教学目标
(1)理解空间向量的数量积的意义及其运算律,会求空间向量的数量积;
(2)掌握利用空间向量的运算解决直线与直线垂直、直线和平面垂直、两点间距离或线段长度等相关问题;
(3)掌握利用空间向量的运算解决空间几何中的夹角问题
(4)通过例题学习,简单了解三垂线定理及其逆定理;
(5)巩固深化空间向量学习过程中的平面和空间的类比及空间向平面的转化等学习和研究方法;
(6)体会将空间几何问题通过空间向量转化为代数问题,进而通过代数运算解决几何问题的方法,感受数学问题的内在联系和寓数于行、数行
相伴的数学美。
3学情分析
学生有以下四方面的知识积累和储备:(1)平面向量的相关内容;(2)空间向量的基本概念;(3)平面向量的加减和数乘运算向空间向量的推广;(4)平面向量基本定理向空间向量的推广。
学生对空间向量内容已有两个典型的认知:(1)平面向量与空间向量的类比学习(2)空间向量向平面向量的转化学习。
本节课的学习,强化学生运用转化和类比思想学习空间向量中的能力,并掌握空间向量的数量积运算及其几何意义、运算律和应用。
4教学策略分析
课堂教学以学生为中心,突出合作学习,探究学习和自主学习。师生合作探究,共同回顾总结空间向量数量积的几何意义;小组合作,讨论运算律;教师引导启发,促成学生掌握数量积的应用;总结提升,巩固深化空间向量学习过程中的平面和空间的类比及空间向平面的转化等学习和研究方法,并对空间向量数量积的几何意义、运算律及空间向量数量积在空间几何问题中的应用。
5教学过程概述
该课堂共包括:课堂导入部分、探究几何意义、探究运算律、探究应用、感悟高考、课堂总结等六部分组成
6教学过程
6.1第一学时
6.1.1课堂引入
(1)回顾。向量是可以平移的,空间任意两个向量都是共面的。空间向量经过平移,表示向量的有向线段共起点,转化为平面向量问题。那么平面向量的研究方法就可推广到空间向量中应用。
(2)两个向量知多少?
调动学生积极思考课题,充分回顾与两个向量有关的向量概念。(模、夹角、平行、垂直、数量积等)
总结:我们引入空间向量的数量积运算以后,像很多数学运算一样,我们要研究它的几何意义、运算法则(运算律)和应用,下面我们研究它的几何意义;
6.1.2教学活动
活动1【讲授】探究空间向量数量积及其几何意义
过程二:从空间向量到平面向量的转化,从平面向量到空间向量的类比,探究学习空间向量数量积及其几何意义;
活动2【讲授】探究运算律
活动3【讲授】探究空间向量数量积的应用
过程四:空间向量数量积在空间几何中的应用
活动4【讲授】感悟高考
过程五:感悟高考
活动5【讲授】课堂总结
过程六:课堂总结
1.学到了什么?学习了空间向量数量积及其几何意义、运算律和在空间几何中的应用;
2.困惑在哪里?求数量积的时候往往需要利用向量的加法和减法进行转化,这是运算的难点,要充分理解求数量积时,利用向量的加减法对其中向量进行转化,从而便于运算;
3.研究方法有哪些?类比、转化在本节中的突出应用;
活动6【作业】作业布置
过程七:作业布置
空间向量的数量积运算 作业详细解答
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析：选B.对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．
2．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________.
【解析】|2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
3．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】由题意知
即⇒λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
4.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于________．
解析：∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋
2·＋2·＋2·
＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos 60°
＝108＋2×6×6×＝144.
∴PC＝12.
答案：12
5．如图3123在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面GBD.
图3123
【证明】设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋＝＋(＋)＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋＝(a＋b)－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O⊄面BDG，
∴A1O⊥面GBD.
6.如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
解析：不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.
答案：90°
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