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视频标签：函数的极值,与导数
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视频课题：高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数-天津市优课
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《函数的极值与导数》教学设计
教 材: 人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-2
一、 教学内容解析
1、教材分析
《函数的极值与导数》是人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》§1.3.2的内容，本节课为第一课时。
微积分学是人类思维的伟大成果之一，它开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法。导数是微积分的核心概念之一，有极其丰富的实际背景和广泛的应用。函数的极值与导数是整个中学数学对函数研究的进一步深化。在此之前学生已经掌握了导数的基本概念，初步具备了运用导数研究函数的能力，这为《函数的最值与导数》奠定了坚实的基础，具有承上启下的作用。本节课用导数的方法来研究函数的性质，是对函数研究的深化与提升。
同时本节教材是贯彻实施素质教育，充分体现新课标精神，培养学生探究能力很好的教学载体，有利于培养学生用观察、比较、分析、归纳等方法解决一些实际问题。
2、教学目标
（1）知识目标：
①掌握函数极值的定义,了解可导函数极值点的必要条件和充分条件；
②掌握利用导数求不超过三次多项式函数极值的一般方法；
③通过对比原函数的增减和导函数的正负，利用函数的图像，给函数的极值以直观的验证。
（2）能力目标：
①会从几何图形中直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合能力，提升其思维水平；
②培养学生分析和解决问题的能力，能综合运用所学的数学知识、思想和方法解决相关的数学问题。
（3）情感态度与价值观：通过对函数极值的研究，提高学生分析和解决问题的能力；培养学生严谨的学习态度，体会用导数方法研究函数性质的有效性；培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；同时也发展其逻辑思维能力，并培养辩证唯物主义观点。
3、重点、难点的确定及依据
教学经验使我认识到，学生对函数在某点取得极值的必要条件和充分条件的把握有一定的困难。因此，在教学过程中我把该知识点作为难点讲解。根据教学大纲及高考的要求，结合学生现有的知识水平和认知能力，我把利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法作为本节课的重点。通过学生观察图像特征、自主探究、小组合作等形式来突破难点，并总结归纳出求极值的方法与步骤，了解极值存在的充分条件和必要条件。
二、学情分析
学生已经初步学习了运用导数去研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。本节课能进一步提高学生运用导数研究函数的能力,让学生体会导数的工具作用。
三、教法与学法
1、教法分析：
本节课重在突出“以学生为主体”的教学理念，以问题探究的形式，遵循学生的认知规律，自主学习与合作探究相结合的模式，教师在整堂课中引导学生探索函数的极值与导数的关系。对于学习效果，采用问题和练习的形式予以检查和纠正。
2、学法指导：
教学中始终本着“以学生为主体”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正地参与到知识的生成过程中。主要从以下几个方面进行指导：
（1）引导学生观察图像，产生认知冲突。（极值好像是最值，又不是最值。）
（2）激发探究欲望。学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
（3）指导合作探究，小组讨论并得出结论。
四、教学过程
| 教学过程 | 教学内容 | 设计意图 | ||||||||||||||||||
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自主 学习 |
课前将学案发给学生让学生明确目标，有的放矢进行预习，解答相关问题。通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。 | 培养学生自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。 | ||||||||||||||||||
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合作探究 对学生解决不了的问题，重点讲解思路与方法，进行引导。 分组讨论 小组汇报 教师点拨 |
北京奥运会中国跳水队获得全部8枚金牌中的7枚。 1高台跳水例子的研究：(1)当t<a时h(t)的单调性___________ (2)当t>a时h(t)的单调性 ___________ (3)当t=_______时运动员 距水面高度最大，h(t)在此点的 导数是_______ (4)导数的符号有什么变化规律？ 2观察下图中的曲线   (1)观察图（1）中 a点的函数值f(a)，比较它与其临近点的函数值 (2)观察图（2）中 b点的函数值f(b),比较它与其临近点的函数值  3观察函数 的图象， 思考： 函数y＝f(x)在点x＝0，x＝2处的 函数值，与它们附近所有各点处 的函数值，比较有什么特点? 定义：一般地，设函数f(x)在点a、b附近有定义， 如果对a附近的所有的点,都有f(x)﹤f (a) ,我们 就说f (a)是函数f(x)的一个极大值, 记作: y极大值= f (a)； 如果对b附近的所有的点,都有f(x)﹥f (b)， 我们就说f (b)是函数f(x)的一个极小值， 记作: y极小值=f (b). 极大值与极小值统称为极值. 点a叫做函数y=f(x)的极大值点. 点b叫做函数y=f(x)的极小值点 |
激发民族自豪感，培养爱国主义精神.激发学生的求知欲。 用高台跳水的例子发展学生的数学应用意识，发挥学生的主体作用。 用信息技术辅助教学，突破难点。 学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程. 引导学生创新与实践,培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 理论依据：建构主义理论
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教师点拨 |
1、极值是函数的局部性质,反映了函数值在某一点附近的大小变化情况; 2、极值点是自变量的某个值，极值指的是其函数值; 3、函数的极值与导数的关系: (1)如果f¢(x) =0, 并且在x0 附近的左侧 f¢(x) >0，右侧f¢(x) <0, 那么f(x0 )是极大值。 (2)如果f¢(x) =0, 并且在x0 附近的左侧 f¢(x) <0 ，右侧f¢(x) >0, 那么f(x0 )是极小值。 导数左正右负为极大，右正左负为极小 函数左增右减为极大，右增左减为极小 |
老师点拨，学生构建知识体系，巩固完善、升华所学。 理论依据：建构主义理论 |
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| 学生活动 |
函数y=f(x)的导数y'与函数值和极值之间的关系为( ) A、导数y'由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y'由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y'由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D、导数y'由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 |
及时反馈 | ||||||||||||||||||
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巩固提高 教师板演 完成练习 分组讨论 学生总结 自主完成 课堂小结 学生归纳 |
例题：求函数  的极值。解： f¢(x)=x2－4=(x+2)(x－2) 令 f¢(x)=0，解得x1=2，x2=－2 下面分两种情况讨论： (1) 当f¢(x) >0，即x>2,或<-2 (2) 当 f¢(x)<0，即-2<x<2 当x变化时， f¢(x) ，f(x) 的变化情况如下表：
 ∴当x=－2时， 有极大值，并且极大值为 当x=2时， 有极小值, 并且极小值为函数 的图像如图所示  解题方法总结： 求函数y=f(x)极值的方法： (1)求导 ； (2)求极值点 ； (3)讨论单调性 ； (4)列表 ； (5)写出极值. 求下列函数的极值。   渐入佳境篇 拓展(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？ 如x =0是否为函数f(x)=x3的极值点? 若 x0 是极值，则f¢(x0) =0。 反之，若f¢(x0) =0，则x0 不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x)在这点取得极值的必要条件。 函数y=f(x)在点x0取极值的充分条件是： ①函数在点x0处的导数值为0； ②在该点附近的左右两侧导数异号。 拓展(2)极大值一定比极小值大吗？ 不一定,极值是函数的局部性概念。 拓展(3)（天津高考题)函数  的定义域为开区间 导函数  在  内的图像如图所示，则函数在开区间 内有（ ）个极小值点。  注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 课堂练习： 1. 函数  在 时有极值10，则a，b的值为（ ）A、  或  B、  C、  D、 以上都不对 2函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值，又有极小值，则a的取值范围为 。 这节课你有什么收获? |
巩固新知识，通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点，培养学生规范的表达能力，形成严谨的学习态度。 通过作图，使学生掌握数形结合思想及作图的一般步骤。 学生总结解题方法，培养归纳能力。 变式训练，突出重点，使学生由感性认识上升到理性认识。 通过拓展(1)，突出判断极值点的条件，从而突破难点。 通过拓展(2)帮助学生理解极值是函数的局部性质。 拓展(3)进一步让学生区分如何用导函数的图像判断函数的极值，从而突出重点、突破难点。 分层练习，让各层面学生都能学有所获，不断增强学习的信心，最终获得成功。 理论依据：斯腾伯格的成功智力理论 |
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| 函数的导数与极值 | |||
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1、定义： 极大值与极小值 极值点 极值 |
2、典型例题求函数…的极值。 解： f¢(x) =x2－4 =(x+2)(x－2) … 令 f¢(x) =0，解x1=2，x2=－2 下面分两种情况讨论：… |
3、求极值的步骤： (1)求导； (2)求极值点； (3)讨论单调性； (4)列表； (5)求出极值. |
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能力提升
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
