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视频课题：高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数-宁夏
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高中数学人教A版选修2-2第一章1.3.2函数的极值与导数-宁夏育才中学
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2.P26-29
1.3.2 函数的极值与导数
教学分析：
本节内容是导数在研究函数性质方面的继续深入，在教材中起到了承上启下的作用，是本章的重要知识点，也是导数应用的关键知识点。通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解；掌握了函数极值的判别法，就为学生下一节学习函数最大、最小值的判定铺平了道路。 教学目标
〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值
〈3〉感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。 重点难点：
教学重点：函数极值的概念，用导数判别函数极值的方法。 教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。 课时安排：一课时 教学过程 一 新课引入
前面我们学习了函数，解决了求瞬时速度与曲线切线斜率问题，又利用函数的导数研究了函数的单调性。下面我们利用函数的导数继续研究函数的极值。 二、概念探究 1.函数极值的定义
已知函数y=f(x)的图象如图所示：
问题1：函数y=f(x)在点d,f,g点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 问题2：这些点附近的函数图象有什么变化规律？
问题3：函数y=f(x)在点c,e,h点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ 问题4:这些点附近的函数图象有什么变化规律？ 问题5：函数的极大值一点大于极小值吗？ 函数极值定义：
函数xfy在点ax的函数值af比它在点ax附近其他点的函数值都小，点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
函数xfy在点bx的函数值bf比它在点bx附近其他点的函数值都大，点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
2.函数的极值与导数的关系 已知函数y=f(x)的图象如图所示：
问题1：函数y=f(x) 在极值点a,b 处导数值是多少?
问题2：函数在极小值点x=a附近，导数的符号有什么变化规律？ 问题3：函数在极大值点x=b附近，导数的符号有什么变化规律？ 问题4：函数的极值与导数有什么关系？
（师生活动：先叫学生试着归纳总结，培养学生归纳概括能力，教师再补充。） 函数y=f(x)在点a处取得极小值af'=0；而且在点ax附近的左侧xf'＜0，右侧xf'＞0 。
函数xfy在点bx处取得极大值bf'=0；而且在点bx附近的左侧 xf'＞0，右侧xf'＜0 。
3
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大（左减右增为极小，左增右减为极大） 三、深化概念
导数为0的点一定是极值点吗？ 探究发现：判断函数f(x)=x3有无极值。 解：因为f’(x)=3x2 令f’(x)=0，解得x=0 当x>0时，f’(x)>0 当x<0时，f’(x)>0 又因为f(x)是连续函数，
所以f(x)在R上单调递增，没有极值。
导数为0的点不一定是函数的极值点.，函数在某点的导数值为零是取得极值的必要条件，而非充分条件。
问题：函数在某点取得极值的充分条件是什么？
①f’(a)=0
②点a附近左右两侧导数符号相异 四、应用举例
例1 求函数31
443
fxxx的极值
师生活动：学生思考交流，教师引导学生从极值的定义出发考虑解决问题的思路，教师板演解题过程，真正起到示范作用。
解:∵31
443
fxxx∴'fx=x2-4=(x-2)(x+2)
令'fx=0,解得x=2,或x=-2. 下面分两种情况讨论:
（1）当'fx＞0,即x＞2,或x＜-2时; （2）当'fx＜0,即-2＜x＜2时.
当x变化时, 'fx,f(x)的变化情况如下表:
4
x (-∞,-2)
-2 (-2,2) 2 (2,+∞) 'fx +
0
_
0
+
f(x)
单调递增
283
单调递减 43
单调递增
因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)=
28
3
;当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)= 4
3
函数31
443
fxxx的图象如右图:
点评：此函数的导函数为学生熟悉的二次函数，可以引导学生画出导函数的简图，由导函数的图象直接读出'fx在某个区间的正负，真正达到以形助数，以数辅形。
变式训练 ： f(x)=6+12x-x3
（用投影展示学生的作品，让学生发现错误与漏洞，教师集体纠错，并给予积极的评介，）
设计意图：深化三次项系数为负的三次函数的极值的求法。 （备选例题）例2 求函数1
fxxx
的极值。 师生活动：让学生观察函数结构特征，尝试完成，教师适当启发诱导。 学情预设：学生可能忘记函数的定义域, 解题过程不够完善。
解：∵1fxxx∴'
fx=222111xfxxx2
11xxx
令'fx=0,解得x=-1,或x=1. 因为2x＞0，所以
（1） 当x＞1,或x＜-1时; 'fx＞0。 （2） 当-1＜x＜0或0＜x＜1时，'fx＜0。 当x变化时, 'fx,f(x)的变化情况如下表:
3
1443
fxxx
5
x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞) f’(x) + 0 -
-
0 + f(x)
单调递增
极大值
单调递减 单调递减
极小值
单调递增
因此,当x=-1时,f(x)有极大值,且极大值为f(-1)= -2 ;当x=1时,f(x)有极小值,且极小值为f(1)=2
多媒体设计：解题过程用幻灯片打出，节约课堂时间，增大课堂容量，学生对照自己的解题过程自查自纠，用多媒体画出函数1
fxxx
的图象， 设计意图：让学生跳一跳，够得着，此函数为分式函数，等价转换后仍然是判别二次三项式的正负，同时，这道例题的极小值正好大于极大值，进一步说明极值反映的是函数的局部性质。
问题：通过以上例习题的解答，请同学们归纳总结求函数xfy的极值的步骤： （教师引导学生归纳概括）
一般地，求函数xfy的极值的方法是： （一） 确定函数的定义域
（二） 解方程f `(x)=0，当00'xf时；
（1）如果在0x附近的左侧xf'＞0，右侧xf'＜0，那么0xf是极大值 （2）如果在0x附近的左侧xf'＜0，右侧xf'＞0，那么0xf是极小值 （3）如果在0x附近的左右两侧xf'的符号不变，那么0x不是xfy的极值点。 六 归纳总结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些数学知识？
2 从极值概念的形成到求函数的极值，你体会了哪些数学方法和数学思想？ 师生活动：学生发言，互相补充，教师点评完善。 七 作业设计：
必做：P32 4 5 ① ④
选做：补充题：1 已知函数3fxaxbxc ，其导函数'fx图象如图，则函数xf 极小值是（ ）
A abc B 84abc
6
0
2
1
x
y
C 32ab D c 答案：D
2 已知y=f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a等于( ) (A) 6 (B) 0 (C) 5 (D) 1
3 已知函数323fxaxbxx在1x处取得极值。
（1） 求a,b的值。
（2） 讨论1f和1f是函数xf的极大值还是极小值。
八 板书设计
1.3.2 函数的极值与导数
函数的极值的定义 例1的板演 求函数xfy的极值的步骤 口诀：
九 设计感想：
本节的教学内容是函数的极值与导数,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性探索归纳出导数的极值定义,利用定义求函数的极值. 本节课始终以学生为主体，教师为主导，观察分析，合作交流，探究发现，归纳总结.注重概念形成的过程，注重求函数极值方法的训练，突出重点，又很好的突破了难点，例习题的选取有梯度，有广度，注重数形结合等数学思想的渗透，注重学生思维品质的训练，培养了学生探究意识和成功意识，自主精神和合作精神，，本节课的设计是面向全体，因材施教，能够使不同层次的学生在本节课都有所获。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
