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视频课题：高中“新课程新教材”跨区域教学展示交流课《用函数观点求解方程与不等式》（上教版)
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高中“新课程新教材”跨区域教学展示交流课《用函数观点求解方程与不等式》（上教版)
课题 5.3（2）用函数观点求解方程与不等式
时间2021年12月6日第6节 班级：高一4班 执教教师 何莎莎
【教学目标】
| 教学过程 | 设计说明 | |
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一、复习引入 在教材第二章中，我们已经学习了如何解一元二次不等式。如：  解不等式： 可转化为：  构造函数：  对应方程：  可见，我们可以借助于构造一个与方程或者不等式有关的函数，充分利用函数的图像及其性质，可以比较便捷地解出相关问题。这就是我们今天这节课研究的主题：用函数观点求解方程与不等式。 二、新课设计 我们先来梳理下三者之间的关系。在求解含有一个未知数的方程时，经过恰当地化简，总可以化为在一定的范围D内求解形如  的方程。这里 就是一个构造的相关函数。不等式也可以通过类似的方式来寻找与之相关的函数。方程在D中的解，就是函数的图像与 轴交点的横坐标，也即我们今天新学的函数的“零点”这个概念。定义 对于函数 ，如果存在实数 ，使得 ，就把 叫做该函数的零点（zero）.如：函数 的零点，就是方程的根，也是函数的图像与轴交点的横坐标。例1 在区间  上解方程 解法1:  , , ,    解法2： 记  . ，可知在区间上 是方程的一个解。又因为对于任意给定的  ，当 时，由不等式的性质得 ，故 .因此， 在区间上是严格增函数.可知在区间上方程的解是.变式1： 方程  是否有整数解？说明理由.变式2： 在 上解不等式 解:  ，    例2 求函数  的零点？略解：问题可转化为求方程：  的解.解法一：问题转化为方程  的解，由数形结合转化为求：函数 图像交点的横坐标即得：.解法二：   的解是.变式1：求函数  的零点？变式2：当  取何范围时，函数 的图像在函数 图像的下方？略解：问题可转化为  即：    【反馈练习】 （1）解方程：  （2）  （3）解不等式  例3 已知  是实常数，设关于的不等式 的解集为A，若A与区间 交集非空，求的取值范围.略解：问题可转化为关于 的不等式在上有解.问题也可转化为  图像在上下方问题.解法一：数形结合函数的图像求解； 解法二：结合函数的性质求解，即：  在上有解.再转化为求函数 
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以旧引新，用学习过的具体问题,解一元二次不等式的求解方法引入新课。这样做可以让学生初步体会到方程、不等式与函数之间关系，从而引发学习动机。 辨析：方程的解、函数图像与x轴交点的横坐标、函数的零点三者之间的辩证统一关系。 例1及变式1的设计意图：能够用函数的性质（单调性）解方程。同时，通过这个例题的设计培养学生的逻辑推理能力及规范书写证明过程。 变式2的设计意图：能够用函数的性质（单调性）由解决方程延拓到解决不等式相关问题。 例2及变式的设计意图：1、理解零点这个概念在实际应用中与之相关内容之间的辩证统一关系。2、函数与方程及不等式是可以双向、自由转化。学会等价化归的数学思想才是最重要的。3、函数的观点可结合函数的图像或者性质。 反馈练习的设计意图：了解学生的学习掌握情况。第（3）小题引申到函数性质有时候不仅仅局限于单调性，可以结合奇偶性等综合考量。 例3的设计意图：在例1、例2及变式的层层推进式学习中，考查学生是否具备一定的综合应用能力。 |
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| 课后作业 | 校本练习卷一张 | |
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