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视频课题：高中“新课程新教材”跨区域教学展示交流课教学展示《正弦函数、余弦函数的图象》郑州市第二高级中学 马
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高中“新课程新教材”跨区域教学展示交流课教学展示《正弦函数、余弦函数的图象》郑州市第二高级中学 马
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
正弦函数、余弦函数的图象，以及正弦函数、余弦函数图象的画法．
2.内容解析
正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路，可以类比、对比指数函数、对数函数等展开研究：
绘制函数图象—观察图象、发现性质—证明性质．
首先是关于正弦函数的图象，绘制一个新函数图象的基本方法是描点法，如果能多描出一些点，那么就可以使绘制的图象更精确．但是正弦函数在
内，如何实现绘制的精确度呢？这是首先要解决的问题．
为此，先解决精准绘制某一个点
，
的问题，此处关键是要理解横坐标的意义，其本质在于对三角函数定义的理解：根据正弦函数的定义可知，在单位圆中，点
的横坐标
的本质是以
为始边，以
为终边的角，因此，
，如图1所示．过点
作
x轴，垂足为
，则线段
的长即为
，于是对于任意一个横坐标，其纵坐标可以用几何方法精准描出．
图1
精准绘制一个点的问题解决之后，即可用相同的方法描出其他的点，进而描出正弦函数在一个周期内的图象，并通过平移描出正弦函数的图象．这个过程充分体现了从特殊到一般的研究方法．
在此基础上，通过平移变换，画出余弦函数图象．
基于以上分析，确定本课时的教学重点：正弦函数、余弦函数的图象．
二、目标和目标解析
1.目标
|
课程目标 |
学科素养 |
|
1.通过对单位圆和正、余弦函数定义的复习回顾，探索正弦函数图象的画法； |
a.数学抽象：由“五点法”作正弦、余弦函数的图象； |
|
2.通过观察函数图象特征，探索出用“五点法”画正弦函数的图象； |
b.逻辑推理：由正弦函数图象作出余弦函数图象； |
|
3.通过研究正、余弦函数图象间的关系，探究余弦函数图象的画法. |
C直观想象：运用函数图象分析问题. |
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生能先根据正弦函数的定义绘制一个点，再绘制正弦函数在一个周期
内的图象，最后通过平移得到正弦函数的图象；能说出正弦函数图象的特点，并能用五点法绘制正弦函数的图象．
（2）学生能用图象变换的方法，由正弦函数的图象绘制余弦函数的图象，并能就一个具体的点清晰地解释图象的变换方式及原因，能用“五点法”绘制余弦函数的图象．
三、教学问题诊断分析
学生之前拥有丰富的绘制函数图象的经验，但是利用定义的几何意义绘制函数图象是第一次，因此在思维习惯上存在障碍，教学时要给予充分的引导，特别强调要准确地绘制出两函数的图象这一要求，让学生感受到这种做法的困难，然后从三角函数的定义上分析点的坐标的几何意义，让学生真正理解．
绘制函数图象任意一点的操作存在困难．为此，可以先选定一个角
，然后找到角
的始边OA绕点O逆时针旋转得到的弧
，平移弧
使点
与原点
重合，将弧
拉直为线段且与x轴重合，此时点B所对应的位置为(
，于是图象上的点
随之确定．
本课时的教学难点是：掌握准确绘制函数图象一个点的方法，并由此绘制出正弦函数的图象．
四、教学支持条件分析
绘制正弦函数图象的关键是准确地绘制图象上的一个点，为此可让学生利用信息技术完成．
后续让学生描出其他的点，并连线描出正弦函数在一个周期内的图象时，同样可以利用信息技术完成．
五、教学过程设计
（一）复习导入
1.正弦函数、余弦函数的定义？
设
是一个任意角，
，它的终边OP与单位圆相交于点P
-
把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作
，即
；
-
把点P的横坐标
叫做的余弦函数，记作
，即
.
2.函数的研究路径方法？
2’ 三角函数的研究过程：
（二）新知探索一：函数
的图象
问题1：从公式一中你可以发现函数值有什么样的变化规律？
师生活动：教师提出问题，学生通过回忆单位圆和正弦函数的定义，师生共同交流、规划，完善方案预设的答案如下：
由公式一：
可知，角
的终边绕原点旋转一周，函数值将重复出现，回到单位圆可发现角
的终边每绕原点旋转一周终边与单位圆的交点的纵坐标不变，据此，可以简化对正弦函数图象的研究过程，比如可以先画函数
的图象，再画正弦函数
的图象．
设计意图：1.规划研究方案，构建本课时的研究路径，从特殊到一般，数形结合，从整体上掌握整个课时的学习进程，形成整体观念．
问题2：如何准确绘制点
？若在
上任取一个值，你能确定正弦函数值
吗？
在平面直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，单位圆与x轴正半轴的交点为A(1,0)，在单位圆上，将点A绕着点O旋转弧度至点B，根据正弦函数的定义，此时点B的纵坐标即为
，所以我们可以以角
所对的弧长为横坐标，以
为纵坐标，就可以得到函数图象上的一个点
.
师生活动：教师引导学生，借助单位圆并根据正弦函数定义分析确定
，
的几何意义。学生思考后，教师利用信息技术尝试绘制这一点。
设计意图：教师引导学生剖析一个点的画法，深化对正弦函数定义的理解．通过分析点的坐标的几何意义，准确描点．
问题3：我们已经学会绘制正弦函数图象上的某一个点，那么，你能画出
,
的图象吗？
方案1：在区间
内任取一些横坐标的值，按照上述方法逐一绘制，再用光滑的曲线连接．
方案2：在
取12等分点，使
的值分别为0，
，
，
…，一直到
，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点
的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点.
师生活动：（两种方法本质相同，在信息技术条件支持下都容易实现，在手工操作的条件下，用方案2比较可行）．学生用方案2绘制函数图象，教师借助信息技术，绘制函数图象．
设计意图：确定画出一个周期内正弦函数图象的方法并实施，同时体会信息技术给数学研究带来的便捷．
问题4：根据函数
的图象，你能想象函数
的图象吗？
预设的答案：根据公式一，可知函数
的图象与
的图象形状完全一致．因此将函数
的图象不断向左、向右平移（每次移动
个单位长度），就可以得到正弦函数
的图象，如图2所示．
师生活动：学生画图，教师予以指导．
图2
教师指出，正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．
设计意图：绘制函数
的图象．
问题5：在确定正弦函数在的图象形状时，应抓住哪些关键点？
师生活动：对于函数的研究，能够快速又比较准确的作出它的简图往往起着特别重要的作用。教师提出问题，引导学生观察图2，并说出他们的想法．
预设的答案：观察图2，在函数
的图象上，五个点
在确定图象形状时起关键作用．因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，称为“五点法”
教师指出，今后在精确度要求不太高时，常常先找出这五个关键点，用光滑的曲线将他们连接起来即可得到正弦函数的简图，我们把这种方法称为“五点（作图）法”.
设计意图：观察函数图象，概括其特征，获得“五点法”画图的简便画法．
（三）新知探索二：函数
的图象
问题1：借助正弦函数的图象，通过怎样的图象变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？
师生活动：学生先用排除法观察诱导公式，选择简洁的公式，作为正弦函数、余弦函数关系研究的依据，教师引导学生通过比较进行选择．从数的角度看，可以选择关系
．记
，则
．因此函数
的图象，可以看作将函数
的图象上的点向左平移
个单位得到．如图3所示：
图3
教师指出，余弦函数
，的图象叫做余弦曲线．它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线．
设计意图：利用诱导公式，通过图象变换，由正弦函数的图象获得余弦函数图象；增强对两个函数图象之间的联系性的认识．
问题2：利用“五点法”找出余弦函数在[0，2π]上相应的五个关键点，然后画出
，
的简图.
师生活动：学生找点画图，教师予以指导.
设计意图：观察余弦函数图象，掌握其特征，掌握“五点法”．
问题3：如果画出余弦函数在[−π，π]上的图象，应该找出哪五个关键点呢？
五个关键点：
师生活动：学生口头说出五个关键点的坐标，教师予以肯定.
设计意图：找出五个关键点的特征：最高点、最低点、函数图象与
轴的交点。熟练掌握“五点法”作正弦、余弦函数图象．
（四）例题精讲
例：画出下列函数的简图：
（1）
，
；
（2）
，
．
师生活动：学生先独立完成，然后就解题思路和结果进行投影展示交流，教师点评并给出规范的解答．
解：（1）按五个关键点列表：
描点并将它们用光滑的曲线连接起来（图4）：
图4
（2）按五个关键点列表：
|
x |
0 |
 |
 |
 |
 |
 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
1 |
 |
-1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
图5
设计意图：巩固学生对正弦函数、余弦函数图象特征的掌握，熟练“五点法”画图，掌握画图的基本技能．通过分析图象变换，深化对函数图象关系的理解，并为后续的学习作好铺垫．
（五）课堂小结
教师引导学生回顾本节课的学习内容：
正弦函数、余弦函数的作法：①描点法（五点法），②图象变换法
设计意图：通过小结，复习巩固本节课所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数图象的理解．
（六）布置作业
基础巩固：课本200页练习1-4题；
创新探究：类比以往对函数性质的研究，观察正弦函数、余弦函数的图象，你能发现它们具有哪些性质？
设计意图：1.考查学生对正弦函数、余弦函数图象的基本特征的掌握程度，是否会利用“五点法”作图．
2.为下一节的“正弦函数、余弦函数的性质”做铺垫.
七、教学反思
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