视频简介：

§4.1.1 n 次方根与分数指数幂

一、教材分析
 本节课是新版教材人教 A 版普通高中课程标准实验教科书数学必修 1 第四章第 4.1 节《n 次
方根与分数指数幂》第 1 课时。从内容上看，它是我们学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，
本节以此为出发点，引出了开 n 次方根的概念，并将指数幂由整数指数幂推广到了有理数指数幂，
体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基
础。
 在指数幂运算的推广过程中，“整数指数幂的运算性质在有理数指数幂、实数指数幂中仍成立”是
核心思想。对此，学生在初中学习整数指数幂时，在由正整数指数幂到负整数指数幂的推广过程中
已经有所体会，本节教学中 要让学生进一步体会。
二、学情分析

学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如

1 S 的以分数为指数的幂， 2

那么这种以分数为指数幂的意义是什么？它具有怎样的运算性质？它和整数指数幂有什么区别和
联系？这些都是自然而然要研究的问题。
 平方、开平方以及立方、开立方是学生熟悉的运算，它们两两互为逆运算。为了一般化，我们首
先要把平方根、立方根的概念推广到 n 次方根，介绍 n 次方根的性质；然后在此基础上，建立 n 次
方根与分数指数幂的关系，说明分数（有理数）指数幂的意义，并把整数指数幂的运算性质推广
到有理数指数幂的情形。其中 n 次方根性质和 n 次方根与分数指数幂的含义探究过程中，需要学生
进行自己探究发现，需要一定的数学抽象素养。
三、教学目标和课程素养
课程目标 学科素养
（1）理解 n 次方根及根式的概念， （1）数学抽象：根式的概念；
掌握根式的性质； （2）逻辑推理：根式与分数指数幂的互化
（2）能利用根式的性质对根式进行运算； （3）数学运算：根式的化简；
（3）理解分数指数幂的含义，掌握根式与 （4）直观想象：指数幂的运算法则；
分数指数幂的互化； （5）数学建模：将指数幂的运算性质推广
到有理数的范围。
（4）了解分数指数幂的扩展过程，掌握分
数指数幂的运算性质。
重点：根式的概念，分数指数幂的概念； 难点：根式与分数指数幂的互化，有理数指数幂的运算性质。

四、 教学流程设计
(壱) 情境引入
公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希帕索斯 考虑了一个问题：边长为 1 的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也
不能用分数来表示，希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数 2 的诞生.
1 思考：若则c² ( 0), c=x₂ .
=x c >
1
像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？
x ₂
【设计意图】：解决实际问题，引出本节课题。
（二） n 次方根的定义和性质
问题一：n 次方根的定义
一般地，若则x叫做a的___________.
xⁿ =a,
a 的 n 次方根的定义
一般地，如果 xⁿ =a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1，且 n∈N^*.
问题二：n 次方根性质
(1) 64 的 3 次方根________; -32 的 5 次方根___________.
(2)9 的 2 次方根________; 16 的 4 次方根___________; -81 的 2 次方根________.
(3) 0 的 3 次方根________; 0 的 2 次方根___________.
任意实数 a 的 n 次方根 一定存在吗？如果存在，有几个呢？
【学生活动】：同桌交流，得出结论。
a 的 n 次方根的性质
1 当 n 为奇数时, a 的奇次方根只有 1 个,用 _n a 表示；
2 当 n 为偶数时,正数的偶次方根有 2 个，用±ⁿ a(a >0) 表示；
0 的偶次方根是 0；负数没有偶次方根. 【设计意图】由特殊到一般，学生自主总结归纳。

（三）根式的定义和性质
1.定义 式子 _n a 叫做根式, n 叫做根指数, a 叫做被开方数.
[微判断]
1.当 n 为偶数，a≥0 时， _n a ³ 0 .( )
2.当 a≥0 时， _n a ³ 0 表示一个数.( )
3.实数 a 的 n 次方根有且只有一个.( )
【设计意图】强化概念，深入理解。
2. 性质
试一试，有规律吗？
【学生活动】小组讨论，共同解决。 根式的性质
n
性质 1：^:(ⁿ a)=a

性质 2：

为奇数 n n a ì , n ï a =í a ,n 为偶数 ï î

【设计意图】小组合作，培养学生合作能力，以及数学抽象素养。
【例1.1】 求下列各式的值
3 2 4 2 (1) ₃ -8 ( )
( ) 4
(2) -10 (3) (3 - p) (4) (a - b)
【例 1-2】 求使等式成(立的)(实₂ 数的)取值范围.
a-3 a - 9 =(3 - a) a +3 a
【学生活动】例 1-1 口算；例 1-2 学生讲解. （四）根式和分数指数幂的互化
( 规律:(a > 0)
发现：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表
示为分数指数幂的形式.

示下列式子吗?
发现：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式可以表
示为分数指数幂的形式.
,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
n
我们希望整数指数幂的运算性质，如(a ) =a ，对分数指数幂仍然适用.
k kn
由此，我们规定， 正数的正分数指数幂的意义是
m
a =ⁿ a^m Î
(a>0,m,m N ,n>1) n
+
正数的负分数指数幂的意义是

- a

m n

1 1 = = (a>0,m,m Î N ,n>1) m n m + a a n

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.
【微思考】
m
n m a 1. a
分数指数幂可以理解为个相乘吗？
n
提示：分数指数幂是根式的一种新的写法。
2 1
2. a₄ =a₂ ?
mp m
提示： 0 a ( , , )
当时，
a ³ =a m n p Î N
np n
+
【设计意图】类比推理，根式可以和分数指数幂进行转化，培养学生逻辑推理学科素养.

（五）有理数指数幂的运算性质 整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用
题型一：根式与指数幂的互化
角度 1：分数指数幂化为根式
【例 2-1】用根式表示下列各式

3 4 (1) a

- (2) a

3 5

角度 2：根式化为分数指数幂
【例 2-2】用分数指数幂的形式表示并计算下列各式
4 (1) ³ x² (x >0) ( )
(2) ₅ m - n (m >n)

(3) p p (p >0) 6 5

a 3 (4) (a >0) a

题型二： 利用分数指数幂的运算性质化简求值
3
-
æ16 ö
4
【例 3】
(1)
ç ÷
è81ø
（2）计算下列各式（式中字母均为正数）
æ ^{2 1} öæ 1 ¹ ö æ 1 ⁵ ö
 2a₃ b₂ - 6a₂ b₃ ¸ -3a₆b ₆
ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø
【学生活动】例 2-1 和例 2-2 独立完成，学生回答；例 3 学生板书讲解.
（六） 总结提升
一、归纳总结
1．根式的定义和性质

n
性质 1：^:()
ⁿ a =a

性质 2：

为奇数 n n ì a, n ï a =í a ,n 为偶数 ï î

2. 根式和分数指数幂的互化
m
1 1
-
m = = > Î 且 >
a (a 0,m,m N , n 1)
n
a = a m n m
n
n m +
a
a _n
3. 分数指数幂的运算性质
二、素养落地
 通过理解分数指数幂的含义提升数学抽象素养，通过进行根式与分数指数幂的互化及运用
指数幂的运算性质培养数学运算素养.

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