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视频标签：对数函数的图象和性质
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视频课题：高中数学新课程优质课比赛_4.4.2对数函数的图象和性质_黄山
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安徽省高中数学新课程优质课比赛_4.4.2对数函数的图象和性质_黄山
4.4.2 对数函数的图象和性质
一、教学目标
课程目标：
1、能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象
2、探索并理解对数函数的单调性与特殊点，并能应用对数函数的概念和性质解决问题．
3、学生通过指数函数图像的性质来总结对对函数的图像和性质，能够让知识系统化，理解更深刻，也体现了数学知识间的紧密联系和逻辑性.
核心素养：
-
数学抽象：函数图像的性质；
-
逻辑推理：底数互为倒数的对数函数图像之间的关系；
-
数学运算：根据函数性质比较大小；
-
直观想象：函数图像的性质；
-
数学建模：实际问题用对数函数的性质来解决。
二、教学重点与难点
重点：对数函数的图象和性质，包括特殊点、单调性，以及对数函数的应用．
难点：通过与指数函数对比，抽象概括出对数函数的性质．理解互为反函数的两个函数的关系，以及反函数的对称性．
三、教学过程设计
1．研究图象和性质
引导语：对于具体的函数，我们一般按照“背景－概念－图象与性质－应用”的过程进行研究．前面一节课我们从具有现实背景的问题中，学习得到了对数函数的概念，接下来就要研究它的图象和性质，并灵活应用．我们在研究指数函数的图象和性质时，研究了那些内容？研究方法是什么？
师生活动：师生一起回忆对数函数的学习，提出研究对数函数的图象和性质的内容和方法．
类比研究指数函数的图象和性质的方法，需要先画出对数函数的图象，然后借助图象研究性质．
设计意图：通过回顾研究指数函数图象和性质的内容和方法，提出研究对数函数的图象和性质的研究内容和研究方法，为接下来的学习指明方向，并引出问题3．
问题3：选取底数a的若干值，先自己在练习本上尝试画图，然后利用信息技术在同一直角坐标系内画出相应的对数函数
（a＞0，且a≠1）的图象．通过观察图象的特征可以得到一些函数的性质．你认为可以从哪些方面进行观察？你能发现函数的哪些性质？
师生活动：先画函数
的图象．完成x，y的对应值表1，并用描点法画出函数
的图象．
学生应该能够独立完成，完成后进行展示，全班师生形成共识即可．
追问1:在4.2.2中研究指数函数的图象和性质中，我们知道了底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，那么对于底数互为倒数的两个对数画数，比如
和
，它们的图象是否也有某种对称关系呢?
先描点画出函数
的图象，观察函数
和
图象的关系.
之后再思考:可否利用已经画出的
的图象画出
的图象呢?
你能解释这种关系吗?
师生活动:学生先用描点法画图，通过观察作出猜想。然后教师引导学生从对数的基本运算性质考虑.利用换底公式，可以得到
.所以
图象上任意一点P(x，y)关于x轴的对称点P(x，-y)都在
的图象上，反之亦然.由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.根据这种对称性，就可以利用
的图象画出
的图象。如图5所示.
追问2:分别选取底数
，在同一坐标系内画出它们的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性?对数际数是否也象指数听数一样，过某个定点?类比指数函数的图象性质，自己设计一个表格，写出对数函数
的定义域、值域、单调性和奇偶性，等等.
师生活动:在已经画出
和
图象的基础上，学生可以画出这些函数的图象，如图6所示.
由学生类比指数函数图象，通过观察图象，获得对数函数的性质．然后展示交流，教师引导学生进行规范：首先可以按照对数函数
的底数a的取值，将图象分为0＜a＜1和a＞1两种类型．因此，对数函数的性质也可以分为0＜a＜1和a＞1两种情况进行研究．然后进一步讨论对数函数的具体性质，完成表2．
设计意图：通过画图，比较不同对数函数的图象，归纳它们的共同特征，并数形结合地抽象出对数函数的性质．
-
对数函数的应用
课堂巩固：
练习：比较下列各题中两个值的大小：
追问：比较大小的依据是什么？
师生活动：有了前面对数函数图象和性质的探究，学生应有能力独立完成．完成后，单独提问回答，全班师生达成共识．本题可将每一组中的两个值看作一个对数函数的两个函数值，从而利用对数函数的单调性进行比较．对于（1）（2），可以直接利用对数函数的单调性比较；对于（3），需要对底数
的取值进行讨论，分为0＜
＜1和
＞1两种情况分别进行比较．
解:(1)
和
可看作函数
的两个函数值.因为底数2>1，
对数函数
是增函数，且3.4<85，所以
<
.
(2)
和
可看作函数
的两个函数值。因为底数0.3<1，
对数函数
是减函数，且1.8<2.7，所以
>
.
(3)
和
可看作函数
的两个函数值.对数函数的单调性决定
于底数
是大于1还是小于1，因此需要对底数
进行讨论.
当
>1时，因为函数
是增函数，且5.1<5.9，所以
<
;
当0<a<1时，因为函数
是减函数，且5.1<5.9，所以
>
.
设计意图:通过应用画数的单调性比较大小，进一步理解对数函数的单调性.
例4溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝－lg
，其中
表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为
＝
摩尔/升，计算纯净水的pH．
追问：本题的依据是什么？
师生活动：教师引导学生对问题进行分析，根据对数的运算性质对pH的计算公式进行变形，然后根据对数函数的单调性，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系，并计算出纯净水的pH
解:(1)根据对数的运算性质，有
在
上，随着
的增大，
减小，相应地，
也减小，即PH减小.所以，随着
的增大，PH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强。
(2)当
时，
所以，纯净水的
是7.
设计意图：应用对数函数的性质解决实际问题，进一步认识对数函数的性质，并由性质理解对数函数的概念和变化趋势，熟悉函数的“图象与性质－应用”的研究过程．
-
指数函数与对数函数形成对比，形成反函数定义
问题4:前面根据指数与对数间的关系，由
得到
.由函数定义可知
是一个函数.通常我们用x表示自变量，y表示函数,为此可以把
改写成
.这样，由指数函数
可得到对数函数
，研究这两个函数的相关性，能够发现他们有什么特殊关系吗?
追问1:这两个听数的定义域和值域有什么关系?
师生活动:有了前面的铺垫，学生应该能够独立想到解答，对数函数
的定义域(0，1],值域是
分别是指数函数
的值域和定义域.
教师讲解:像指数函数
和对数函数
这样，根据运算性质可以由一个推导出另外一个，并且一个函数的定义域和值域分别是另
外一个函数的值域和定义域的，我们就称它们互为反函数。这样，对数函数
是指数函数
的反函数.同时，指数函数
也是对数函数
的反函数，它们的定义域与值域正好互换.
追问2：如果将指数和对数函数的底数换成2，那么
的定义域、值域有什么样的关系？
教师分析：由指数函数的性质得到
的定义域、值域互相交换，所以
也互为反函数.由这两对反函数我们可以总结出什么样的结论？
学生讨论：
互为反函数，且定义域和值域交换位置.
四、课时小结
教师引导学生回顾本课时学习内容，并回答下面问题：
1、对数函数的底数互为倒数，函数图像有什么关系？
2、底数对对数函数图像有哪些影响？
3、关于反函数你知道哪些它的知识？
师生活动：提出问题后，先让学生思考并做适当交流，再让学生发言，教师帮助完善．有助于学生及时回顾、掌握本节课的知识，也有利于培养学生的总结概括能力.
五、布置作业
必做题：课本P135 练习题1、2；
选做题：1、课本P135练习题3
-
阅读、思考课本P135的《探究与发现》.
六、板书设计：
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