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视频标签：第十一届全国高中青年
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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《数函数的概念》广东—陈锴
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《数函数的概念》广东—陈锴
《4.2.1 指数函数的概念》教学设计
(人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数第二节指数函数)
一、教学内容解析
1. 教学内容：本节课的教学内容是人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》第二节《指数函数》的第一课时《指数函数的概念》.
2. 内容解析：
(1) 内容的本质
函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，指数函数是一种特殊的函数，是刻画变量增长率或衰减率不变的函数模型.即在自变量增加1个单位，从
到
时，相应的函数值之比
为常数
(当> 1 时，为指数增长；当0<< 1时，为指数衰减).
(2) 蕴含的数学思想和方法
本节课的教学内容：指数函数的概念，属于概念性知识.本节课将在函数的概念与表示、有理数指数幂和实数指数幂的运算等知识的基础上，通过具体实例，引导学生通过代数运算得出刻画问题 1、问题 2 中变量关系的函数解析式，发现并归纳它们的共性，抽象概括出指数函数的定义并用数学符号加以表示.其中蕴含的数学思想有：从特殊到一般、数形结合、分类讨论、数学建模等数学思想和方法.
(3) 教学内容的上下位关系
本节课是在函数的概念与性质、幂函数、指数及其运算性质的基础上，再次完整地使用研究函数的一般思路来研究一类基本初等函数的学习过程.数及其运算的产生和发展是推动数学发展的重要源泉和动力. 数、式、方程、函数等内容的基础是数及其运算，函数是数及其运算的延伸和发展. 指数函数不仅与指数幂的概念和运算性质紧密相关，还与对数函数互为反函数.在学习对数函数、等比数列、概率统计、导数等教学内容时，指数函数会为上述知识的学习奠定基础.作为一类重要的数学模型，指数函数也为学生使用数学知识解决实际问题提供了重要的工具.
(4) 蕴含的思维教学资源和价值观教育资源
课程标准在本单元的“教学提示”中指出，“指数函数的教学，应关注指数函数的运算法则和变化规律，引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数函数的运算法则和变化规律.”本节课在明确了运算法则的基础上，引导学生通过分析具体问题，体悟引入指数函数的必要性，再通过数学运算探究变量的变化规律、使用函数刻画变化规律，从而抽象出指数函数的概念. 使得学生在数学概念生成过程中培养理性思维.
本节课将指数函数的概念应用于解决实际问题，体现了数学知识的文化价值、科学价值与应用价值，同时教材中问题情境的选取也起到了促进学生了解中国历史文化、关心社会的作用，彰显人文价值.
基于以上分析，本节课的教学重点是：通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
二、教学目标设置
1. 教学目标
知识目标：
(1)通过分析具体实例，了解增长率、衰减率、指数增长、指数衰减的概念.
(2)理解指数函数
的概念、读法、定义域和底数的取值范围.
(3)通过分析具体实例，了解指数函数的实际意义.
技能目标：
(1)会用减法和除法运算计算增长量与增长率.
(2)能用描点法或借助计算工具画出散点图.
(3)会求指数函数解析式并根据解析式求不同的函数值.
能力与素养目标：
(1)通过使用指数函数的概念解决数学问题和实际问题，提高从数学角度分析和解决问题的能力.
(2)经历将特殊函数抽象为一般函数的知识生成过程，理解指数函数的概念，提升数学抽象素养.
(3)通过使用指数函数模型解决数学问题与实际问题，体会函数模型在解决实际问题中的作用，发展数学建模素养.
2. 教学目标分析
达成上述目标的标志是：
(1)能根据教材中的游客增长问题与碳 14 衰减问题，通过减法和除法运算，发现数据具体的增长或衰减规律，理解实际问题中变量之间的关系.
(2)在了解指数函数的实际意义的基础上，知道指数函数的含义和表示，清楚指数函数的定义域和底数的取值范围.
(3)在掌握指数函数概念的基础上，能根据实际问题建立指数函数模型，并解决实际问题.
三、学生学情分析
1. 已具备的认知基础
在初中阶段，学生学习了乘方和幂的概念：“求
个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在
中，叫做底数，叫做指数.”这个概念为指数的运算奠定了基础.在高中阶段，数学教材第一册第四章第一节《指数》中，引导学生经历从整数指数幂到有理数指数幂再到实数指数幂的拓展过程，建立实数指数幂的概念，是为了本节课确定指数函数的定义域为
奠定了认知基础；研究指数幂的运算性质，是为本节使用指数函数模型刻画实际问题情境中的对应关系奠定了认知基础；通过确定无理数指数幂是一个确定的实数，从而实数指数幂是一个确定的实数，为本节课通过定义域和对应关系确定值域奠定了认知基础.
在第三章《函数的概念与性质》中，学生经历了分析具体实例、归纳共同特征、抽象概括函数的一般概念的过程，知道了函数不仅可以理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也是两个实数集之间的对应关系，具有一定的数学抽象能力. 学生在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法，在第三章《3.1.2 函数的表示法》一节中，学生更加深入地学习了三种表示法，了解三种表示法的特点，并能够根据具体实例选择合适的方法表示函数，为本节课刻画变量变化规律奠定了数学方法基础.
2. 达成教学目标所需要具备的认知基础
要达成本节课教学目标，学生需要具备以下认知基础：
(1) 学生要具备定性描述变化规律与定量刻画变化规律的意识，理解变化中的不变性和不变量是规律性的体现，并掌握通过运算求得不变量的方法.
(2) 通过归纳概括抽象出指数函数的概念是本节课的核心教学内容，需要学生具备一定的抽象概括思维基础.
(3) 函数模型是解决数学问题与现实问题的重要工具，本节课的学习需要学生具备模型意识，能主动运用函数模型刻画变量的变化规律，能通过分析变量变化规律生成
指数函数模型，并运用指数函数模型解决问题.
3. 认知基础差异与教学难点
对比学生已经具备的认知基础和达成本节课教学目标所需要具备的认知基础，学生在通过代数运算探究变量变化规律、归纳特殊函数的特点构建一般化的指数函数概念和运用指数函数模型解决问题上存在一定的认知基础差异.
根据以上分析，本节课的教学难点如下：
(1) 通过类比，使用除法运算发现数据变化规律、刻画变化规律.
(2) 指数函数概念的抽象概括.
(3) 运用指数函数模型解决实际问题.
4. 难点突破策略
教师在教学中要给学生探索和发现的机会，并在恰当处给予学生指导. 在学生不能从问题 1 的数据中发现游客人次变化规律时，可引导学生先根据已知数据作出图象进行观察，然后启发学生对已知数据进行运算，通过除法运算得到每年与上一年旅游人次的比例为常数，从而结合图象发现变化的规律. 对数据进行哪些运算才有利于发现规律，是学生已有知识经验中缺乏的，教学中要引导学生注意，并用好教材边框中对“增长量”、“增长率”的介绍.
要把从不同问题中得到的函数解析式概括为的形式，可能需要教师指导学生将问题 2 的解析式整理为
.教学中要引导学生利用信息技术工具，从指数幂的意义、函数的对应关系和图象出发，结合实例理解指数函数底数的取值范围.
四、教学策略分析
1. 组织教学材料的分析
指数函数是学生进入高中后学习的一类特殊的函数，学生在学习了函数的概念、幂函数、指数的相关运算与性质后，体会在实际问题背景下，通过运算的推动，结合函数的概念，抽象概括指数函数概念的过程，本节课以生活实际问题为情境，数据较多，不易处理，需要借助图形计算器计算和作图，让学生通过直观感知和数据分析形成概念，体会数形结合思想.
2. 教学方法
本节课采用了讲授教学法、探究教学法等教学方法.
3. 对不同认知基础的学生的教学策略
学习本节课内容的预备知识为：函数的概念、幂函数、次方根与分数指数幂、无理数指数幂及其运算性质. 对于认知基础掌握不牢的学生，在本节课授课前，教师要通过课前预习等方式帮助学生掌握本节课预备知识.
4. 学生教学反馈分析
学生在初中阶段有学习一次函数的经历，在高中阶段也学习了函数的概念与性质、幂函数和指数 (次方根与分数指数幂、无理数指数幂及其运算性质) 等内容，初步具 备了用函数来刻画事物变化规律的经验. 在问题 1 中，A地景区旅游人次变化规律符合一次函数的模型，学生较好理解；但对于B地景区的旅游人次，由于数据变化规律超出学生的认知范围，教师可以借助图形计算器，通过观察图象，辅助学生直观理解. 在“创设情境，引入新知”的环节，由做减法到除法的类比过程学生会遇到困难，教师需要加以引导.
五、流程框图
1.数学流程图
2.教学流程图
六、教学过程设计
| 教学环节 | 教学步骤 | 预计时间（分） | 教学内容 | 教师活动 | 学生活动 | 设计意图 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 创设情境引入新知 | 研究A地景区游客人次变化规律 | 5分钟 |
情境 1：随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式. 由于旅游人数不断增加，A,B两地景区自 2001 年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格.下表给出了A地景区2001年至2015年的游客人次.
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教师展示 PPT，向学生介绍问题情境并提问. 问题 1：观察A地景区数据，随着时间的变化，你能发现景区游客人次发生了怎样的变化吗？ 问题 2：你能用更直观的方式描述这种变化吗？ 在学生完成描点作图后，教师使用图形计算器，做出A地景区数据散点图，引导学生根据图象观察出A地景区数据近似分布在一条直线附近.  问题 3：你能用更精确的方式描述游客人次随时间的变化而变化的规律吗？ 教师引导学生使用一次函数  刻画游客人次和年数之间的对应关系，其中 表示游客人次的初始量， 表示游客人次的年增加量.根据已知数据可得： ，从而确定一次函数解析式为 |
学生阅读教材内 容，通过观察表中数 据发现A地景区年游客人次逐年增加. 答：可以使用图象法，观察变化规律. 学生在学案上描点作图. 答：设时间（年数）的增量为  ，游客人次为 ，可以求出关于的函数解析式，用解析式描述变化规律.学生使用作差运算，笔算求得A地景区游客人次的年增加量约为10（万次）. |
引导学生通过分析具体问题情境，探寻数据之间的对应关系与变化规律. 在本环节中学生用传统的纸笔运算和描点作图方式，经历从定性分析到定量分析，从直观感知到精准刻画的问题分析过程，积累在问题情境中发现问题、分析问题的数学活动经验. 通过对两地景区数据的分析与对比，自然引出新知，激发学生的学习兴趣. 教师使用信息技术工具展示数据分析过程，体现信息技术工具对数学课堂教学和数学问题分析的强大作用. |
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研究B地景区游客人次变化规律 |
10分钟 |
情境 2：B 地景区取消了景区 门票，下表给出了 B 地景区 2001 年至 2015 年的游客人次.
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问题 4：类比分析A地景区数据的方法，你能发现B地景区数据的变化规律吗？ 教师指导学生在学案上描点作图和计算年增加量. 问题 5：B地景区数据和A地景区数据的变化规律相同吗？具体有哪些体现？ 师：B 地景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.  问题 6：B 地景区数据通过减法运算得到的年增加量不是常数，你能通过其他运算找到 B 地景区数 据中的这个不变量吗？ 教师引导学生尝试用加法、乘法、除法等运算对B 地数据进行分析，最终使用图形计算器计算发现 B地景区数据的年增加比例近似为 1.11.  问题 7：如果设经过 x 年后，B 地景区游客人次为 2001 年的 y 倍，你能写出 y 关于 x 的代数关系式吗？ 教师展示 PPT，指导学生通过运算获得代数关系式  .问题 8：关系式 是一个函数吗？可以如何判断？教师使用图形计算器做出图象，分析图象的变化趋势，利用函数的概念分析出任意的自变量  ，按照对应关系都对应到唯一的函数值，所以关系式是一个函数. |
学生通过描点作图和计算年增加量，发现B地景区数据的变化规律与A地不同. 在数据上，A 地景区数据年增加量近似相同（10 万人次），B 地景区数据年增加量越来越大；在图像上 ，A地景区数据散点分布在一条直线附近 ，B地景区数据散点分布在一条曲线附近，所以不能用一次函数刻画B地景区数据变化规律. 答：是 一 个 函数，用函数的概念和函数的图象进行判断. 函数的概念：一般地，设 A,B 是非空的实数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f:A→B为集合 A 到集合 B 的一个函数. |
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| 创设情境引入新知 | 研究问题2 | 8分钟 | 情境 3：当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 含量会按确定的比率衰减 (称为衰减率)，大约每经过5730 年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，生物体内碳 14 含量与死亡年数之间有怎样的关系？ |
问题 9：设死亡生物体内碳 14 含量的年衰减率为 p，如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，你能写出表示死亡生物体内碳 14 含量 y 与死亡年数 x 之间的代数关系吗？ 教师展示 PPT，学生完成以下计算： 死亡1年后，生物体内碳 14 含量为  死亡2年后，生物体内碳14含量为  死亡3年后，生物体内碳14含量为  …… 死亡 年后，生物体内碳 14 含量为 .即得到  .问题 10：如何求衰减率  ？师生利用题目条件，通过运算求得  的值，具体过程为：死亡 5730 年后，生物体内碳14含量为  ；根据已知条件， ,从而 , 所以 .设生物死亡年数为x，死亡生物体内的碳14含量为y，那么, 即： .显然这也是一个函数.师：死亡生物体内碳 14 的含量每年都以  的比率衰减，像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减. |
学生类比研究B 地景区游客人次变化规律的方法，求生物体内碳 14 含量随死亡年数变化的函数解析式. | 在分析了B地景区数据的基础上，本环节的问题情境用文字语言描述变量之间的变化规律，培养学生将文字语言转化为数学语言的能力并引出指数衰减的概念，进一步将指数函数所刻画的数据变化规律清晰化、丰富化. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 归纳特征生成概念 | 归纳特征生成概念 | 10分钟 |
分析函数解析式 和 的共同特征. 将其抽象为统一的形式：  并研究其定义域. |
问 11：B 地景区游客人次增长规律与碳 14 衰减规律有什么共同特征？ 问 12：你能把  和 归纳为统一的函数形式吗？ 师：如果用字母  代替上述两式中的底数1.11和  ，那么函数和 就可以表示为 的形式，其中指数是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.追问：底数 小于0可以吗？如果底数等于1呢？师：底数 小于0时，自变量不能为偶数分之1.如果底数 等于 1， 恒为1，没有研究的意义.追问：自变量 可以取负数吗？师：于是，我们得到指数函数的定义：一般地，函 数 称为指数函数，其中指数是自变量，定义域为 R. |
答 ：当 自 变 量（年数）增加 1 时，因变量 都以一个确定的比例增加或减少，即： (当 时，为指数增长；当 时，为指数衰减).答：可以写出统一的形式  .答：可以，因为  ，所以自变 量可以取负数. |
从形式和本质上对两个代数关系式进行对比分析，引导学生归纳两个代数关系式的共同结构特征，经历从特殊到一般的数学抽象全过程，生成指数函数的概念. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 应用概念解决问题 | 讲解例1 | 3分钟 |
例 1：已知指数函数 ，且 ，求 f(0)，f(1)，f(-3). |
例 1 解答略. 师：教师引导学生，要求出 f(0)，f(1)，f(-3) 的值，应先求出  (a > 0, 且 a ≠ 1) 的解析式，即要先由已知条件 f(3) = π，求出 a 的值. |
运用指数函数解决数学问题，培养学生使用指数函数概念解决数学问题的能力. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 讲解例2 | 6分钟 |
例 2.(1) 在问题2中，某生物死亡 10000 年后，它体内碳 14 含量衰 减为原来的百分之几？ (2) 在问题 1 中，如果平均每位游客出游一次可以给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间，A，B 两地旅游收入的变化情况.   |
例 2：(1) 设生物死亡 x 年后，它体内碳 14 含量为 .如果把刚死亡的生物体内碳 14 含量看成 1 个单位，那么 .当 x = 10000 时，利用图形计算器求得 h(10000) ≈ 0.30.(2) 设经过x年，游客给A,B两地带来的收入分别为f(x)和g(x)，则f(x) = 1150 × (10x + 600)，g(x) = 1000 × 278 × 1.11x。 教师利用图形计算器进行计算，指导学生总结结 论.  师：通过以上的对比，我们发现 f(x)，g(x)都是增函数，刚开始的时候，f(x)会占据比较大的优势，但是随着 x 的增大，g(x) 增长会越来越快，积累到一定的量以后，呈现出爆炸式的增长，这种增长形式叫做指数爆炸. |
学生计算A，B两地旅游收入，得出相应的函数解析式. |
在本节课引入新知的问题情境的基础上，进一步将问题情境进行拓展与深化. 培养学生使用数学知识解决实际问题的能力，培养数学建模核心素养. |
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| 总结方法归纳思想 | 课堂小结 | 3分钟 |
二、总结方法落实技能  |
问 13：通过本节课的学习，你可以总结一下探究 指数函数概念的方法与思路吗？ 师生活动：教师引导学生回顾、思考、整理、归纳、 总结. 教师要仔细倾听学生的想法，关注学生对指数函数概念的研究过程的表述，适时引导和优化，达到突出重点的目的. 问 14：现实生活中还有哪些问题可以用指数函数模型进行研究呢？ 师：在实际问题中，经常会遇到类似于例 2(1) 的 指数增长模型：设原有量为 N ，每次的增长率为 p，经 过 x 次增长，该量增长到 y，则  (x ∈ N). 比如：传染病模型 就是一个指数增长模型. |
答：通过分析实 际的问题，研究数据 之间的变化规律，通 过寻求不变量建立函数解析式，再分析函数解析式的共同点构建一类函数. 答：生活中的银行贷款利息、细菌繁 殖等问题也是用到 指数函数. |
总结本节课学习的指数函数概念及其衍生概念. 归纳生成一类新的函数的一般性方法，总结运用数学知识解决问题的一般过程，培养学生用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界的能力. 培养学生数学建模核心素养，为后续开展数学建模活动积累数学活动经验. |
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| 布置作业拓展深化 | 布置作业 | 1分钟 |
1. 完成教材 115 页练习 1，2，3. 2. 如果某函数呈指数增长，那么称函数值增长为原来两倍所用的时间为“倍增期”. 通过互联网、文献查阅等方式，给出一个倍增的指数函数模型. 3. 运用指数函数模型研究放射性物质衰减的现象，并形成探究小论文. |
教师向学生布置作业 | 通过完成课后练习与自主学习倍增的指数函数模型以及运用 指数函数模型研究放射性物质衰减现象形成探究小论文，培养学生指数函数模型的应用能力. |
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)视频来源：优质课网 www.youzhik.com
