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视频课题：第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的单调性》甘肃—甄
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第十一届全国高中青年数学教师优质课大赛《函数的单调性》甘肃—甄
《函数的单调性》教学设计
一、教学内容解析
从内容看，函数是刻画客观世界中变量关系和变化规律的工具，研究函数的规律，能够把握事物的变化规律，函数的单调性是高中阶段学生要掌握的函数的重要性质之一．本节教学任务是建构函数单调性的形式化定义，并用定义证明具体函数的单调性，让学生经历从直观到抽象，从图形语言、文字语言到符号语言的转换过程，理解增函数、减函数及单调区间等概念，明白函数的单调性将自变量的变化方向和函数值的变化方向联系起来，描述了函数的变化过程和趋势．
从知识的上下位角度看，学习函数的单调性既是学习函数概念、表示方法等知识后的延伸与拓展，又是后续研究指、幂、对等基本初等函数的基础，也是研究数列、不等式等问题的有力工具．
从单元教学的层序性看，高中函数的单调性的学习分为四个层次．第一层次，从图形语言到符号语言的过渡，理解函数的单调性的概念，体会常用逻辑用语的重要意义，会用定义证明简单函数的单调性．第二层次，研究几种初等函数的单调性，理解用代数方法研究函数的单调性的基本思路．第三层次，利用导数研究函数的单调性，感悟导数是研究函数的单调性的有利工具．第四层次，利用函数的单调性研究数列、不等式、方程等问题，理解研究函数的单调性既是数学本身的需要，更是表达现实世界的需要，是构建数学模型的有效语言．本节教学位于第一层次．
从蕴含的思想与方法看，函数单调性是函数性质研究的第1课时，作为函数性质单元起始课，本节内容所渗透的研究函数性质的基本方法，为函数其它性质的研究奠定认知基础和参考路径，积累经验．单调性的定义是用静态的数学符号刻画动态函数图象在某个区间上的上升或下降的趋势，具有高度的抽象性，是培养和提升学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等核心素养的重要载体．
二、教学目标设置
1．通过具体实例，经历函数的单调性从直观描述到符号表示的抽象过程，体会符号化定义的必要性，体会数形结合、类比、从特殊到一般等思想方法，发展直观想象、数学抽象素养．
2．能准确说出增函数和减函数的定义，体会全称量词的作用．
3．能用函数的单调性的定义证明简单函数的单调性，发展逻辑推理、数学运算素养．
三、学生学情分析
1．从认知基础上看，学生在初中已经学习了一次、二次和反比例函数，高中又从集合的角度系统地学习了函数的概念，对于函数的单调性已经有了“形”的直观认识，也具备一定的不等关系的符号运算能力．
2．从认知障碍上讲，用符号语言表示动态的数学对象，这对刚进入高中学习的学生而言显得很不适应，表现出认知力不够．“为何要用符号语言来表达函数的单调性”对这个问题，学生是存在困惑的．
3．从心理特点上讲，学生对于函数的性质只有一些感性的、模糊的认识，对于一般数学意义上的描述是学生所不能的，也是迫切需要知道的，因此认识函数的单调性，正处于学生最近发展区．
4．从学生可能的发展来讲，六大核心素养，除数据分析外，在本节课中皆有不同程度的体现，教师帮助学生在单调性概念不同的表征系统间进行灵活的转换，有助于学生良好认知结构的建构，不同程度地发展学生素养．
四、教学重、难点
1．教学重点
理解函数的单调性的定义；根据定义证明函数的单调性．
2．教学难点
函数的单调性形式化定义的生成．
五、教学策略分析
利用现实生活中的实例，创设与函数的单调性相关的情境，引出学生将要探索的数学问题，调动学生的求知欲，带动学生的内驱力．
基于学生的思维水平和认知现状，从具体的函数出发，从正向、逆向两个方面，从证实到否定，高度重视“任意”所蕴含的逻辑要求，设计环环紧扣的问题串，从图形语言到符号语言，从定性到定量，从特殊到一般，教师采用启发讲授和合作交流相结合的教学方式，让学生充分经历观察、分析、归纳、抽象的思维过程，再将有雏形的函数的单调性的定义进行表达加工，形成完整准确的函数的单调性的定义．在概念重构的过程中，加深对函数的单调性本质的理解．对学生的数学眼光、数学思维、数学语言表达产生积极影响．
借助多媒体技术辅助展示抽象过程，投屏展示学生的思考结果、演算、证明过程，及时反馈学生的学习情况．
六、教学过程
环节一 情境导入 把握方向
情境1 一碗水中加入一定量的糖，未饱和状态下，糖加的越多，糖水越甜．
情境2 李白《将进酒》中的名句“君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪．”
情境3 嘉峪关某天的气温变化曲线，请同学们根据曲线图说说气温的变化情况．
学生初步感受事物的变化规律后，教师指出：
现实世界是运动变化的，人们为了研究这些运动变化的规律，在数学中引入了函数，通过对函数变化规律的研究，从而实现对现实世界中事物运动变化规律研究的目的．从本节课起，开始学习函数相关的变化规律，即函数的基本性质．总体而言，函数的性质指的是变化中的不变性、变化中的规律性．
（设计意图：设计“糖水模型”、“诗词”、“气温曲线”等情境，让学生顺理成章地感受到事物的运动变化趋势一般有三种情况：①整个运动过程呈上升趋势；②整个运动过程呈下降趋势；③整个运动过程呈时而上升时而下降趋势．一方面激发学生的主动思考；另一方面，让学生明白函数是描述事物变化规律的数学模型以及研究函数性质的必要性．）
环节二 直观感知 形成冲突
活动 画出下列函数的图象，观察并说明图象有何变化趋势．
①y=x+1; ②y=-2x+1; ③y=x2.
教师投屏展示学生所作的函数图象，学生逐一说明图象的变化趋势及函数值随自变量增大怎样变化．
（设计意图：从学生现有的知识经验入手，观察具体的函数图象，直观感受增减变化，体会数形结合的数学思想，知道y随x的变化趋势与x的范围有关．）
思考 对于函数
，函数值随自变量的增大怎样变化？
学生描点作图后，教师用画板工具准确作图，学生发现难以确定下降与上升分界点的确切位置．
通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数的单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的定量研究．
（设计意图：设置问题，引发认知冲突．教师引导学生从定性描述走向定量刻画，体会“形缺数时难入微”，体会到用数量大小关系严格表述函数的单调性的必要性．）
环节三 抽象建构 形成概念
问题1 函数y=x2，怎样用符号语言刻画“在区间(0,+∞)内，y随x的增大而增大”？
教师引导：“增大”意味着比较，需要建立两个量的大小关系．
预设：
①“x的增大”的符号化：x1<x2；
②“y的增大”的符号化：f(x1)<f(x2)；
③“随”字的符号化：当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)．
问题2 只取(0,+∞)内的两个确定的值x1，x2，当x1<x2时，若f(x1)<f(x2)，能保证函数y=f(x)在区间(0,+∞)内y随x的增大而增大吗？
学生分组讨论，作图说明．
预设：
问题3 只取(0,+∞)内的三个确定的值x1，x2，x3，当x1<x2<x3时，若f(x1)<f(x2)<f(x3)，能保证函数y=f(x)在区间(0,+∞)内y随x的增大而增大吗？
问题4 取(0,+∞)内的无数个值x1，x2，x3，…，当x1<x2<x3<…时，若f(x1)<f(x2)<f(x3)<…，能保证函数y=f(x)在区间(0,+∞)内y随x的增大而增大吗？
追问
“无数个值”不行怎么办？
“无数个值”和“所有的值”一样吗？
“所有的值”能取完吗？那怎样一一验证呢？
我们之前学过表示“所有”概念的量词吗？
你能借助全称量词用符号语言严格表达“在区间(0,+∞)内，y随x的增大而增大”吗？
学生得出：∀x1,x2∈(0,+∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)．
问题5 对于函数
，任意两个值x1，x2，当x1＜x2时，为什么都有f(x1)＜f(x2)？
预设：作差证明、利用不等式的性质证明．
问题6 你能模仿上述过程，用符号语言描述在(-∞,0]上“y随x的增大而减小”吗？
教师引导学生梳理函数y=x2的单调性．
| 区间 | (-∞,0] | (0,+∞) |
| 图象特征 | 从左到右，图象下降 | 从左到右，图象上升 |
| 文字语言 | y随x的增大而减小 | y随x的增大而增大 |
| 符号语言 |
∀x1,x2∈(-∞,0]， 当x1＜x2时， 都有f(x1)＞f(x2). |
∀x1,x2∈(0,+∞)， 当x1＜x2时， 都有f(x1)＜f(x2). |
| 单调性 |
在区间(-∞,0]上是 减函数 |
在区间(0,+∞)内是增函数 |
| 单调区间 | 单调减区间 | 单调增区间 |
等．，引导学生根据单调减函数的定义判断其是否在整个定义域上单调递减，并提醒学生单调区间的准确表示．
．
是
上的增函数．
在区间
上单调递减，在区间
内单调递增．
的大小与某区间内函数值增长快慢的关系．
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
