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人教版初中数学九年级下册第26章函数复习课-数学思想方法之数形结合-江西

视频标签:函数复习课,数学思想方法,数形结合

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视频课题:人教版初中数学九年级下册第26章函数复习课-数学思想方法之数形结合-江西

教学设计、课堂实录及教案:人教版初中数学九年级下册第26章函数复习课-数学思想方法之数形结合- 江西省 - 南昌

函数复习课: 
数学思想方法之数形结合 
  
一、 教学设计意图 《义务教育数学课程标准(2011版)》教学建议中说:数学教学应根据具体的教学内容,注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验,即从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过实践、思考、探索、交流等,获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题的能力和解决问题的能力。所以在学习知识复习阶段创设一节融数学知识、思想方法、提出问题、分析问题、解决问题于一体的课有其重要价值。而选择良好的知识载体凸现数形结合的作用,又要具备一定思维价值,怎么选择呢?回顾人教版的学生第一次接触“数形结合”是在七年级下册的《平面直角坐标系》,笛卡儿1坐标的引入让代数和几何连接起来,是代数和几何相结合的理论基础。之后随之而学的函数则是这种数形结合的良好运用,所以选择“函数”内容是最佳的选择。 
为了让“数形结合”思想更融洽自然地体现,我们设置有效的问题串来形成学习过程。什么叫“有效”?激发学生思维、数形结合的意识自然渗透、自主选用。我们用递进的问题串让学生找到数形结合的抓手,即解决问题的落脚点。所以我们选择了一条直线分别与直线、抛物线、双曲线结合的图形进行研究其中的形、数关系。  
                                                             
1
坐标系的提出者是勒奈·笛卡尔, 他最主要的成果莫过于“几何学”,准确的说是将代数和几何连
接起来。当时,代数还比较新,在数学家的头脑中,几何学的思维仍占据一席之地。笛卡尔一直在思考,能不能把几何学的问题用代数的形式表达出来,打破两者之间的界限。 
  坐标系创立于1637年,笛卡尔当年创立坐标系还有一个故事。笛卡尔是在参军时,刚刚到了一个陌生的地方,他辗转反侧,难以入睡,又开始思考几何和代数的结合。然而,思绪一时半会理不清,笛卡尔无聊之际看到墙面上忙着爬行织网的蜘蛛,玩心大起,顿时有了兴趣,仔细观察了起来。看着蜘蛛有规律地横竖交替地编织网格的时候,沉思中的笛卡尔灵机一动:蜘蛛运动的轨迹能不能这一条条的线来定位呢?蜘蛛所处的位置是不是也可以用线相交形成的点来确定呢?他仔细观察两面垂直的墙面以及天花板的交线,三平面是两两垂直的。他拿出笔来,仿照着画出了三条相互垂直的直线,分别代表两墙面的交线以及墙面和天花板的交线,在纸上描出一个点代表爬行于墙面的蜘蛛。蜘蛛这个点到三平面的距离自然是可以计算出来的,那么,这个点不就唯一确定了吗?它的位置就能精确唯一地被表示出来了。笛卡尔欣喜若狂,他在日记里写道:“第二天,我开始懂得这惊人发现的基本原理。”此时,他有了将代数和几何相结合的理论基础。随后便一发不可收拾,根据这种数形结合思想,他创立了我们现在所谓的“解析几何学”,在平面上,用一点到两条固定直线的距离来描述点的位置;在空间中,就用一点到三个相互垂直平面的距离来精确定位点。此时,几何问题不仅可以用代数形式表示,还可以用代数变换来实现其几何性质。   解析几何的出现,有着跨时代的意义。它改变了自从古希腊以来,几何和代数分离的趋势,将原本对立的两个概念——数与形,完美地统一起来,让几何曲线和代数方程结合起来。这一天才的创新为微积分的创立奠定了基础。笛卡尔的发明不仅为牛顿、莱布尼兹发现微积分开辟了道路,还开拓了变量数学的领域。为什么这么说呢?笛卡尔对点的定位从另一方面讲是把曲线看成是点运动的轨迹,这一观点建立了点和实数的对应,将形(点、线、面)和“数”统一起来,将变数引进到数学中,数学不再是由常量组成的,也囊括了时时改变的变量。恩格斯给出了高度评价:数学中的转折点就是笛卡尔的变数,有了变数,运动才进入了数学,辩证法才进入了数学,微分和积分也就有了成立的基础。  
 
                    
             
                    
                            二、 学情分析 
数形结合思想是一种抽象思维和形象思维的结合,学生在《反比例函数》章节止,已经多次经历数形结合的学习过程。但学生是否在过去的学习过程中真正感悟到数形结合思想,并主动用这种思想方法解决问题是这节课要落实和渗透的。 
三、 教学目标、重难点 教学目标:通过函数知识的复习让学生进一步意识到代数和几何的联系,会用数形结合思想解决相关函数问题 
教学重点:函数问题的读图能力及用数表达图形的能力 
教学难点:激发学生主动地把数转化为形,形表述为数的能力 四、 教学过程设计 1.思考引入,整合知识 
引入:同学们好,今天我们学习一节《函数》复习课。我们刚刚学完了反比例函数,之前学习了一次函数、二次函数,我们知道各种函数的学习基本分为这几块内容:函数及其图象;函数与方程、不等式的联系;函数的应用。我们已经具备了函数的基础知识、基本技能,而今天这节课我们要复习的是函数学习中反映出的某些基本思想、基本活动经验。(书写课题:数学思想之  ) 
师:同学们认为函数中最常用的数学思想是什么? 
师:大家还记得进入初中学习后第一次接触“数形结合”是在什么章节内容吗? 
师:人教版教材七年级下册学习的《平面直角坐标系》中,笛卡尔坐标系的引入就是将代数和几何连接起来,比如,用一对有序数对表示一个平面上的点,而点的横、纵坐标分别代表点到两条线段的长度,此时,数和形有效结合,几何学的问题用代数的形式表达出来,打破两者之间的界限。 
师:我们在如下的问题串中体会这种思想。  
2.体会数形结合,形成一定感悟 
问题1:如图,直线)0(kbkxy过点A(-1,2)和B(-2,0), 
则xbkx2的解集为      
(估计学情:学生可能用待定系数法求解函数,再解不等式;也可能直接看图根据函数值的大小求解。) 
师:什么方法最好?你为什么想到这种方法? 师:如果对上题,去掉一个条件但不影响解题,你认为去掉什么?为什么可以去掉这个条件? (教学重点:以上提问中,教师更强调的是为什么:知其然,然后知其所以然) 变式: 
如果把上面的问题改为求xbkx20,它的的解集为           师:你怎么看待这个变化,与及怎么理解它的解题思路变化? 
设计意图:从学生的两种解法(数、形)入手,通过合理的问题串,让学生理解数形的结合 
问题2: 
如图,已经一次函数)0(kbkxy与反比例函数x
y4

的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为2,点B的纵坐标为-4,当x满足什么条件时,一次函数的值比反比例函数的值大? 
师:在这道题中,你有什么发现或归纳要交流吗? 
 变式:若点A的横坐标与点B的纵坐标均为1,当x满足什么条件时,一次函数的值比反比例函数的值大? 
(估计学情:学生习惯有图的题所以缺少尝试,不去动手,或不能动手,也有可能图形或答案错误) 
师:我们刚才发现问题2中,图形对解题有很大的作用,从图形中可以感知数的关系。那么,请你试着先画出示意图再去寻找答案 
师:说说自己的错误原因吧 师:数形结合,可以来源于已知的图形给以的联想,也可以是自己实践过程中的尝试和发现。  
3.应用数学思想,解决数学问题 问题3: 
如图,已知抛物线xxy421和直线xy22.我们约定:当x任取一个值时,x对应的函数值分别为1y和2y,若21yy时,取1y和2y中的较小值M;若21yy时,由记21yyM. 
①x>2时,2yM; 
②当x<0时,M随x的增大而增大; 
③使得M大于4的值不存在; 
④若M=2,则x=1。其中正确的说法是           .  师:对数形结合,你有什么体会呢?  
4.小结与反思 
1.  这节课的收获与体会(学生谈) 2. 数学文化之数形结合 
我们为什么要培养学生的数形结合意识,数学家阿蒂亚(1929-)在《数学的统一性》一书中给出了答案。他认为几何是数学中这样的一部分,其中视觉思维占主导地位,而代数则是数学中有序思维占主导地位的部分。这种区分也许用另一对词刻画更好,即“洞察”对“严格”,两者在真正的数学研究中都起着本质的作用。它们在教育中的意义也是清楚的。教学的目标应是培养学生发展这两种思维模式,过分强调一种而损害另一种是错误的。所以在数学学习中,我们愿意看到几何和代数在解题思想中的融汇。 
“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中,书中有一首小诗:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数无形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事非;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!”体会华先生的小诗,我们去理解几何与代数――“洞察”与“严格”间的和谐相处。比如,在函数教学中,数表示的是一种精确化研究,形则反应出对函数的一种直观认识和整体把握。研究函数的性质,有数无形难以直观把握函数整体,有形无数不能精确运算。在具体的实践操作时,对数形结合的解读体现为叶老师教学时提出的“读图象中的关键东西,如交点”其实就是在形中找数,把研究精确化;强调“自变量的
取值范围”则是带着数从形的角度直观寻找,整体把握函数性质。 
3. 谈谈数学思想 
什么叫数学思想,通俗地说,数学思想就是将具体的数学知识都忘掉后剩下的东西。当学生完成学业进入社会后,若干年后他会忘记数学知识,但数学思想中的获益却可以是终生的。《义务教育数学课程标准(2011版)》中基本数学思想主要是指数学抽象的思想、数学推理的思想、数学建模的思想。而“数形结合思想”就是从“数学抽象思想”派生出来的。 那么通过怎样的数学素材、怎样来培养学生的“数形结合”思想?教学时,老师要区别数学思想和数学方法这两个概念。“数学思想”是观念的、全面的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的。而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的。 
师:刚才的题中我们都看到了“如图”,可不可以认为图形给了我们从形到数,从数到形的启示呢?如果去掉“如图”两字,我们还会有数形结合的启发吗?因为课明有限,现在布置一道家作,请同学们课后去思考完成。 
 
5.布置作业,课后拓展 
家作:已知一次函数)0(kbkxy与反比例函数交于点A(1,3)及点B,当△AOB的面积为4时,求k的值. 
设计意图:从有图的“如图”到无图的题目,学生会有数形结合的意识吗?数形结合会对解决这类问题起到帮助吗?

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