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视频标签：用二分法求,方程的近似解
所属栏目：高中数学优质课视频
视频课题：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《用二分法求方程的近似解》十堰
教学设计、课堂实录及教案：2017年“湖北好课堂”高中数学优质课展评录像视频（附课件）《用二分法求方程的近似解》十堰
用二分法求方程的近似解教学设计
十堰市东风高级中学 高会琴
一、概述
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学1必修本（人教A版）》的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．
二、教学目标：
1.知识与技能：
理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法。
2.过程与方法：
通过价格竞猜体会二分法的思想；
通过学生的自主探究，借助计算器用二分法求方程的近似解，体现逼近思想，为学习算法做准备；
体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观
在具体的问题情境中感受无限逼近的过程，感受精确与近似的相对统一
三、教学重点：运用二分法求方程的近似解。
四、教学难点：用二分法求方程的近似解的步骤的归纳
五、教学过程：
（一）情境导入：（猜价格）
书的价格在0—80元之间，每次猜后，学生会给出多了还是少了的提示，当误差不超过2元时算猜中。
问题1：给出多了还是少了的提示有什么作用？
生：缩小价格范围
问题2：误差不超过2元，怎么理解？
生：价格多或少2元都算猜中
问题3：参赛者应当如何猜才能最快猜出正确的价格？
生：每次取价格的中点进行猜想。
那么，在误差允许的范围内，要找某个特定值的近似解，可以通过取特定值所在范围的中点的方法逐步缩小其范围，从而取得近似解。
（二）求方程的近似解
问题1：解方程lnx+2x-6=0,若不能求出，能否解出上述方程的近似解？
回顾旧知
1、求lnx+2x-6=0的根，可以转化为求函数y=lnx+2x-6的零点
2、课本第88页例1：求函数y=lnx+2x-6的零点个数。
那么我们试着用刚才猜价格的方法来求一下函数的零点或近似解。
类比刚才的实际问题有如下关系（PPT展示）
有了这样的关系后，我们来看：
3、已知精确度ε=0.1，求方程lnx+2x-6=0的近似值?
学生简述上述求函数零点近似值的过程。
4、通过这种方法,是否可以得到精确度为0.01的近似值?
第一步：取区间(2，3)的中点2.5，用计算器算得f(2.5)≈－0.084.因为 f(2.5)·f(3)＜0，所以零点在区间(2.5，3)内.
第二步：取区间(2.5，3)的中点2.75，用计算器算得f (2.75)≈0.512. 因为
f(2.5)·f (2.75)＜0，所以零点在区间(2.5，2.75)内.
结论:由于(2，3) 
(2.5，3) (2.5，2.75)，所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见下表和图)
因为|2.5390625-2.53125|< 0.01在区间（2.53125,2.5390625）内任何点的值与精确值的误差都不超过0.01，所以区间内任何值以及区间端点的值都可表示此函数零点的近似解，所以此函数零点的近似解为x=2.53125
5、揭示二分法的定义。
上述求函数零点近似值的方法叫做二分法，那么二分法的基本思想是什么？
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
6、师生共同探索二分法求方程近似解的步骤：
问题一：求函数f(x)零点近似值第一步应做什么？
问题二：为了缩小零点所在区间的范围，接下来做什么？
问题三：f(c)=0说明什么？若f(a).f(c)<0说明什么？
若f(b).f(c)<0说明什么？
用二分法求函数零点近似值的基本步骤：
确定区间[a,b]，使f(a)·f(b)<0 ，给定精度ε；
2. 求区间(a,b)的中点c
3. 计算f(c)：
（1）若f(c)=0，则c就是函数的零点；
（2）若f(a)·f(c)<0 ，则令b=c，此时零点x0∈(a,c)；
（3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点x0∈(c,b).
4. 判断是否达到精确度ε：若 |a-b|<ε，则得到零点近似值a（或b）；
否则重复步骤 2～4．
例题剖析
例1：利用计算器，用二分法求方程2
＋3x＝7的近似解（精确度0.1）
分析思考:原方程的近似解和哪个函数的零点是等价的?
解:原方程即2＋3x＝7 ,令f（x）＝2＋3x －7,用计算器作出函数 的对应值表与图象（如下):
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| f(x)=2x+3x-7 | -6 | -2 | 3 | 10 | 21 | 40 | 75 | 142 |
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
