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高中数学人教B版版必修一3.3幂函数-锦州

视频标签:幂函数

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视频课题:高中数学人教B版版必修一3.3幂函数-锦州

教学设计、课堂实录及教案:高中数学人教B版版必修一3.3 幂函数-锦州市第一高级中学

幂函数 
一、教学目标 
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象,通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质 
2.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质,通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想 
3.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力,了解类比法在研究问题中的作用,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力. 二、教学重难点 
1、教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质. 2、教学难点:幂函数的性质. 三、教具:多媒体[来源:Z+xx+k.Com] 四、学法指导:数形结合,从特殊到一般 五、教学设计 (一)、导入新课 
1、前面我们已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等,这类函数有什么特点呢? 
2、问题情境 
写出下列y关于x的函数解析式 
(1)如果正方形的边长为x,那么正方形面积y=? (2)如果正方体的棱长为x,那么正方体体积y=? 
                            (3)如果正方形场地的面积为x,那么正方形的边y=? (4)某人骑车x秒内匀速前进1km,骑车速度为y=? 以上问题中的函数有什么共同特征? (二)、探索新知 
观察分析上述函数的解析式,给这类函数命名。 
(1)底数为自变量; (2)指数为常数; (3)系数为1  
               一般地,我们把形如y=xα的函数叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 
如y=x2
,y=x2
1
,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都是基本初等函数. 
师生共同辨析这种新函数与指数函数的异同.应说明:幂函数的定义来自于实践,它同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,引导学生注意辨析. 
(三)、理解应用 
1、下列函数是幂函数的是___ 
             ②               ③         ④ 
2、若函数                     是幂函数,则 a 的值为_
 
                    
             
                    
                            引导学生观察图象,归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律.观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,并展示各自的结论进行交流评析,并填表. 
2、观察图象,分组讨论,探究幂函数的性质和图象的变化规律,完成表格 函数性质 y=x 
y=x2
 
y=x3
 
y=x2

y=x-1 
定义域      值域      奇偶性      单调性      特殊点      图象分布 
 
 
 
 
 
3、总结上述五个函数的图像及性质 函数
性质 y=x 
y=x2
 
y=x3
 
y=x2

y=x-1 
定义
域 

R R {x|x≥0}[来
源:学&科&网] 
{x|x≠0} 
值域 R 
{y
|y≥0} 
R {y|y≥0} {y|y≠0} 
奇偶
性 
奇 
奇 
奇 
非奇非偶 
奇 
 
                    
             
                    
                            单调
性 
在第Ⅰ
象限单调递增 在第Ⅰ
象限单
调递增 
在第Ⅰ象限单
调递增 
在第Ⅰ象限
单调递增 在第Ⅰ象限单调递减 
特殊
点 (1,1) 
(1,1) 
(1,1)[来
源:Zxxk.Com] (1,1) 
(1,1) 图象分布 
第Ⅰ、Ⅲ 象限 
第Ⅰ、Ⅱ 象限 第Ⅰ、Ⅲ 
象限 
第Ⅰ象限 
第Ⅰ、Ⅲ 象限 
(五)、反思提升 1、幂函数的定义及说明 2、幂函数的图像及特点 
(1)、第一象限一定有幂函数的图象,第四象限一定没有幂函数的图象,而第二、三象限可能有,也可能没有图象,这时可以通过幂函数和定义域和奇偶性来判断. 
(2)、幂函数y=xa的性质. 
①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); ②当a>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞)上是增函数(从左往右看,函数图象逐渐上升).[来源:Z+xx+k.Com] 
特别地,当a>1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x图象的下方,形状向下凸,a越大,下凸的程度越大. 
当0<a<1时,x∈(0,1),y=x2的图象都在y=x的图象上方,形状向上凸,a越小,上凸的程度越大.[来源:学科网] 
③当a<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 
 
                    
             
                    
                            在第一象限内,当x向原点靠近时,图象在y轴的右方无限逼近y轴正半轴,当x慢慢地变大时,图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴. 
(六)、数学应用 
  
幂函数的简单应用,利用到了幂函数的单调性。学生独立思考,给出解答,共同讨论、评析. 
变式训练:1. 比较下列各组值的大小  
比较大小的题,要综合考虑函数的性质,特别是单调性的应用,更善于运用搭桥法进行分组,常数0和1是常用的参数。 
例2 .试写出函数           的定义域,奇偶性,做出图像,求出值域,并指出其单调性.                   
  
能力提升 
 
 此题考察了幂函数的定义和图像的性质,主要是为了强化学生对于幂函数的记忆和理解。 
有学生自主探究,得出答案。 
 
例1. 比较下列两个代数式值的大小: 
   ⑴       ,           ⑵           ,    
5
.11a5
.1a3
2
22
a3
22
334
4
12.3
2.4



332
2
32
3


235
5
44.1,1.92-
3
与3.8
3
2
)(
xxf 
变式训练2.若则实数a的取值范
围是________. 1.若幂函数的图象不经过原点,
则实数m的值为________. 
 
                    
             
                    
                             
    
(七)、课堂小结 
1.通过实例了解幂函数的概念; 
2. 掌握 幂函数在第一象限内的图象特征,并会根据奇偶性完成整个函数的图象。 
3.能够利用幂函数的性质解决简单的问题.     (八)课后作业 
1、求函数22xy的定义域,并指出函数的单调区间。 2、利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值得大小: (1)4
3
3.2,4
34.2           (2)5
631.0,5
635.0; (3)232
,233
       (4)211.1
,2
19.0
 
3、作出函数2
3
xy的图像,根据图像 这个函数有哪些性质,并给出证明。 六、教学反思: 
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成。因此,学习过程中,引入幂函数的概念之
 
2.幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图
象是(  )   
 
                    
             
                    
                            后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习。在方法上,我们应注意从特殊到一般进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习。将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质。所以本人建议,逐个画出五个函数的图象,从定义域、值域、奇偶性、单调性、过定点等方面进行分析、探究,得到各自的性质,从而再归纳出幂函数的基本性质。 
除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法也是至关重要的。

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