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视频标签：二次函数,综合问题,最值问题
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视频课题：高中数学人教A版必修1-二次函数的综合问题—最值问题
教学设计、课堂实录及教案：高中数学人教A版必修1-二次函数的综合问题——最值问题
二次函数的综合问题——最值问题 教学设计
广州市第一中学 王亚萍
一、教学内容分析
二次函数的最值问题是函数非常重要的一个性质，从近几年的学业水平测和高考试题来看，二次函数图象的应用与其最值问题是热点，主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用。本节课是学业水平考前的一节综合复习课，旨在让学生提高解决二次函数综合问题的能力。
二、教学目标
1、知识目标：掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出闭区间上最
值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和解决相关问题。
2、能力目标：通过图像，观察影响二次函数在闭区间上最值的因素，在此基础上讨论探究
出解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律。
3、能力目标：通过探究，让学生体会分类讨论与数形结合思想在解决数学问题中的重要作
用，培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力。
三、教学重难点
重点：当闭区间端点不定或二次函数对称轴不确定时，讨论二次函数的最值问题。 难点：数形结合、分类讨论方法的正确运用。
四、教法、学法分析
教法分析：“教无定法”，这是一节探究课，我只是教学的组织者、引导者、合作者，在教学
过程中充分调动学生的积极性，让学生成为课堂的主人。在教学过程中我主要采用以下教学方法：开放式探究法，启发式引导法，学生展示、反馈式评价法。
学法分析：任教的班级为文科重点班，学生的学习态度较认真，能够积极参与到数学活动中
来，能较好的接受知识，但数学思维不够灵活，分析问题和举一反三的能力有待加强，尤其遇到综合问题，缺乏解决问题的自信心。
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五、教学过程 复习巩固：
二次函数的图像与性质
探讨：二次函数在闭区间上的最值问题
典例精析： 例1、 已知函数
32)(2xxxf
(1)当0,2
x 时，)(xf的最大值为______；最小值为______.
(2)当 5,2x 时，
)(xf的最大值为______；最小值为______.
题后小结：__________________________________________________________________.
【设计意图】：这是一道基础练习，是二次函数定轴定区间的问题。作为热身训练，提高学
生的学习兴趣，体会这类问题的基本解题方法。
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变式：若函数32)(2xxxf，求)(xf 在区间2,aa上的最小值.
【设计意图】：在例1的基础上进行变式，将二次函数定轴定区间求最值变化为在动轴定区
间求最值。解题思路在例1的基础上得到提升，并归纳总结这两题解题思路的相似与不同之处，让学生利用数形结合、分类讨论的数学思想解决这一教学重点，并掌握解题技巧。
例2. 已知函数
2()23fxxax在区间[1,5]上是单调函数，则实数a的
取值范围是_____________________．
【设计意图】：例2以及变式训练涉及到二次函数在动轴定区间求最值的问题，为了更好的
解决这一教学难点，通过这道例题以及两道变式训练，难度逐层推进，使学生更加容易掌握这一类问题的解题方法。
变式1. 若函数
2()23fxxax，[1,5]x，求函数()fx的最小值.
题后小结：___________________________________________________________________.
变式2. 若函数
2()23fxxax，[1,5]x,若()0fx恒成立，求实数a的
取值范围.
【设计意图】：通过以上两道变式训练，让学生掌握二次函数在动轴定区间上的求最值问题，
并将问题引申到函数恒成立问题。难度逐渐增大，但解决问题的思路和方法都具有相似性，较好的解决了教学难点。
通过以上两道例题和变式训练，环环相扣，能充分调动学生的学习积极性，训练数学思维能力，及时的通过实物展台展现学生的解题过程，让学生体会到解决问题的满足感和成就感。及时给予指导，重点突出，难点得以突破。
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思考题：已知函数
34)(2axxxf,是否存在实数a，使得函数)(xf在区间
2,aa上有最小值－6 ？若存在，请求出实数a的值；若不存在，请说明理
由.
【设计意图】：此题是二次函数在动轴动区间求最值问题，是这类问题的升华。对学生具有
挑战性，能充分激发学生的学习潜能，让学有余力的同学的数学思维得到进一步的训练和提高。
学生自我小结：【方法点睛】 1、影响二次函数
)(xf在区间nm,上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴、
闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不确定时，要分情况讨论； 2、常结合二次函数在该区间上的单调性和图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值； 3、注意分类讨论。
课后练习：
1. 若函数2()41fxxx在定义域A上的值域为[3,1]，则区间A不可能为( ). A. [0,4] B. [2,4] C. [1,4] D. [3,5]
2．在函数2
()fxaxbxc中，若,,abc成等比数列且(0)4f，则()fx有最________
值(填“大”或“小”)，且该值为________．
3. 若函数2
()23fxxx在区间[0,]m 上的最小值是2，最大值是3，则m的取值范围是________．
4. 函数2
()2fxxx，若()fxa在区间[1,3] 上满足：①恒成立，则a的取值范围为
________;②有解，则a的取值范围为________.
5. 方程2
240xax的一根大于1，一根小于1，则实数a的取值范围_______________．
6. 若二次函数2()(0)fxaxbxca 满足(1)()2fxfxx，且(0)1f.
(1) 求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式()2fxxm恒成立，求实数m的取值范围．
7.设a为实数，函数2()2()||fxxxaxa.
(1)若(0)1f，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；
(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．
【设计意图】：通过课后练习，让学生对二次函数在闭区间内求最值这类问题的掌握得到及
时的巩固和提高，既检验了在课堂上对内容的理解和掌握，又能够让学生的思维空间得到进一步的提高，充分体验解决数学问题的乐趣，增强自信心和成就感。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
