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高中数学人教A版必修二第三章直线与方程-山西

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视频课题:高中数学人教A版必修二第三章直线与方程-山西

教学设计、课堂实录及教案:高中数学人教A版必修二第三章 直线与方程-山西省 - 临汾

第三章  直线与方程 
                  3.1.1直线的倾斜角和斜率 
教学目标:    知识与技能 
(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. (2) 理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性. 
(4) 斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式. 情感态度与价值观 
     (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示,培养学生
观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. 
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具:计算机 
教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: 
(一) 直线的倾斜角的概念 
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? 
                               P
c
b
aY
X

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角....特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么?     0°≤α<180°. 
当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 
 
  
- 2 - 
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点...P.和一个倾斜角α........ (二)直线的斜率: 
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 
           k = tanα 
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1;  
      α=135°时, k = tan135°= tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.     (三) 直线的斜率公式: 
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 
斜率公式:               
 
对于上面的斜率公式要注意下面四点: 
(1) 当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直; 
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;  
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; 
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°,直线与x轴平行或重合.     (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 
    (四)例题: 
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 
分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;       而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角;       而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角;       而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°. 
略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 
 
  
 - 3 - 
      直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;       直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 
例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 
分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有                 1=(y-0)/(x-0)                 所以  x = y 
      可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点 
  M(1,1), 可作直线a. 
  同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) 
         (五)练习: P91   1.  2.  3.  4.          (六)小结: 
       (1)直线的倾斜角和斜率的概念.        (2) 直线的斜率公式. 
      (七)课后作业: P94  习题3.1   2,3,4.

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