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视频课题：人教A版高二数学选修2-1第二章《椭圆及其标准方程》湖南省 - 益阳
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高二数学人教版选修２－１
《椭圆及其标准方程》教学设计
一、 教学内容分析
《椭圆及其标准方程》是全日制普通高级中学教科书（选修2-1）数学第二
章《圆锥曲线与方程》第一节第三课时内容。本节在教材中的地位和作用：是圆锥曲线的基础，学生并不清楚这种曲线的本质，随着学生数学知识的逐渐完备，要学会探讨这个问题的能力。从本节来讲，一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的强化。另一个方面，也是圆锥曲线研究的开始，本节对以后的双曲线和抛物线定义的研究，有着至关重要的作用。
二、学生学习情况分析
学生已经学习了圆的定义和圆的方程，曲线与方程，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经熟练掌握由圆的定义写方程，对生活中的椭圆比较熟悉，为了找出与圆不同的地方，迫切需要学习椭圆的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面，发展不均衡，有待加强。
三、设计思想
为了培养不仅能“学会”知识，而且能“会学”知识的人才以及根据“创设情景、激发情感、主动发现、主动发展”的教学模式，在课堂设计上，教师应学会如何创设情景，激发学生学习的兴趣；围绕教材的重难点，比如本节的椭圆定义与标准方程的推导，教师应学会如何设计不同的活动环节，设置由浅入深、环环相扣的问题，通过教师适时的引导，通过生生间、师生间的交流互动，通过学生自己的发现、分析、探究、反思，使学生真正成为学习的主人，不断完善自己的知识体系，提高获取知识的能力，尝试合作学习的快乐，体验成功的喜悦。
四、教学目标
1．理解椭圆的定义，会根据定义判断 轨迹是否为椭圆。 2.通过探究椭圆的标准方程的求法，
3.营造亲切、和谐的氛围，以“趣”激学。引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认识数学的应用价值。
五、教学重点和难点
教学重点: 体会椭圆的形成过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
教学难点：椭圆标准方程的推导（尤其是遇到的根式化
简的过程与方法）
六、教学过程设计
（一）设置情景，导入新课
请大家先看一看，（播放幻灯片生活中的椭圆）你看到了什么形状？
能把你看到的形状勾画出来吗？ 你还有哪些生活经验能生成椭圆？
手电筒也可以生成椭圆吗，请大家注意观察（出现椭圆与圆的形状） 设计意图：从行星轨迹到生活中的椭圆，学生在感叹大自然的神奇的同时，激发了学习兴趣。
（二）引导探究，获得新知
师： 圆是怎样生成的？如果我不小心把绳的两端分开了，又能得到什么图形？请大家在纸板上操作一下。
设计意图：不仅回顾了圆的定义，而且为如何画椭圆奠定坚实基础。
师：认真观察P点的运动过程，你们有什么发现？（利用几何画板软件同步动态演示）
生： 等于绳长，所以点P在运动时，这两条线段的和始终等于绳长。 师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！ 师：那这样画出来的图象是？ 众生：椭圆。
师：你能类比圆的定义得到椭圆的定义吗
定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（ 大于 ）的点的轨迹叫做椭圆。
师：很好！如果我们调整一下这两个的位置，使得这两个点的长度刚好等于绳长，会得到什么样的图形？大家再合作画一次。 生：是一条线段。
师：没错，我们得到的轨迹一条线段。 师：为什么是线段呢
生：到这两定点的距离之和相等等于绳长，笔只能在线段之间移动。
师：非常好，那我们再调整一下这两个点的长度，比绳长要大，能得到什么轨迹？ 生：画不了，没轨迹。
师：现在我们来总结一下，你刚刚的作图，调整两点间的距离会得到不一样的轨迹。
生：绳长大于这两定点的距离，是椭圆；等于两点间的距离是线段；小于这个距离没有轨迹。
设计意图：强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中的应用价值，同时激发学生学习计算机知识的兴趣。至此本节的难点得以突破。 活动设计给出三个实例，让学生判断。
例1：(1)在平面内，若动点P到A（－3， ），B（3，0）的距离之和为8，则P点的轨迹是（ 椭圆 ）
(2)在平面内，若动点P到A（－1， ），B（1，0）的距离之和为1，则P点的轨迹（ 不存在 ）
(3)在平面内，点P到A（－4，0 ）与到B（ 4，0 ）的距离之和为８，则P的轨迹为（线段AB）
设计意图强调“在操作中促进学习”，体现数学实验在学习数学中的应用价值，同时再次通过数据和定义来判断轨迹，至此本节的难点得以突破。
活动设计 ：巩固提升，让学生先利用平面之间的关系找出两线段的长度之和为定值且比两定点的距离要长。
（三）启发引导，推导方程
之前我们研究过圆及圆的标准方程，那么椭圆有方程吗?如何推导椭圆的标准方程呢？让学生进一步运用研究直线与圆的方程的方法——坐标法，去推导椭圆的方程。前两节课我们也学习了求动点的轨迹方程的方法步骤，请学生回顾，并在本环节就按如下几个步骤进行解决问题：
1．建立直角坐标系，设出动点的坐标 我启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。学生可能会有如下几种建系方案：
方案1：以定点F1为原点，两定点的连线为X轴； 方案2：以定点F2为原点，两定点的连线为X轴；
方案3：以两定点的连线为X轴，其垂直平分线为Y轴； 方案4：以两定点的连线为Y轴，其垂直平分线为X轴。
方案１ 方案２ 方案３ 方案4 2.写出动点P满足的集合
这里我启发学生根据椭圆的定义，写出动点M满足的集合，即： P＝｛M|│MF1│+│MF2│ =2a｝
如果学生有困难，可以安排进行小组讨论交流。 3.坐标化
引导学生在设点的基础上,将前面得到的关系式用坐标表示出来。这里学生不会有太大的困难,绝大多数学生都能得到方程:
移项再平方 即:
两边同时平方,得
)()(22222222caayaxca ∵0ca，∴022ca，令2
22bca
则：2
22222baxaxb
两边同时除以2
2ba,
得到 )0(122
2
2babyax 圆的标准方程⑴
它表示：① 椭圆的焦点在x轴上
② 焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0）
③ 2
2
2
bca
小结：这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程的一般方法，总结步骤为：1、建系设点2、写出动点满足的集合3、列式4、化简
设计意图：1、通过方程的推导，学会根据图形的对称性建立适当的坐标系，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。培养学生的发现、探究、研究和计算能力；
2、设置问题，引导学生独立思考、使之成为知识的发现者；
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢? 学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在Y轴上的椭圆的标
准方程：)0(122
22bab
xay 椭圆的标准方程⑵
它表示:① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ 2
2
2
bca（四）拓展引申，对比分析
（五）应用实例，巩固练习
例２：椭圆的两个焦点的坐标分别是（－２，0）（２，0），椭圆过点Ｐ（５
２,
３２
）求
椭圆的标准方程？且 ＰＦ１Ｆ２的周长是多少？。
（周长为4+2 ）
点评：求椭圆的标准方程的方法
（1）定位：焦点在x轴上，或是y轴上，确定方程形式
（2）定量：根据关系式2
22cab确定22ab和
练习1、已知椭圆
上一点P到椭圆的一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦
点F2的距离为(7),
2、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a= ,b=1,焦点在x轴上
(2)焦点为 , 且a=5. 思考：
如右图所示，C(2,0)为圆A： 半径上一点，M在圆上，作MC的中垂线交AM于P，当M在圆上运动时，P的轨迹为？ 学生可独立完成也可以合作交流。 (提示)∵PC+PA=PM+PA= R >AC， ∴P点轨迹为椭圆。
演示《几何画板》得出轨迹为椭圆。并且由 c=2,a=3,可得
于是Ｐ的轨迹方程为
.
设计意图着重培养学生分析、归纳等能力，用多媒体技术验证轨迹，渗透信息技术的应用。设计意图着重培养学生分析、归纳等能力，用多媒体技术验证轨迹，渗透信息技术的应用。归纳小结，布置作业
（六）我的收获：
（1）两种类型的椭圆方程的比较（注意板书内容） （2）总结判断焦点位置的方法。（看大小） （3）求曲线方程的方法：坐标法及其步骤 （4）数形结合、类比、方程、转化与化归
（七）作业 １、预习例２ ２、书面作业：
（１）课本４２面第２题 （２） Ｂ组第一题
３、查找生活的椭圆并利用信息技术知识探究与椭圆有关的知识 七、板书设计
九、教学反思
导入可以更加形象，利用视频导入更能激发学生的积极性，教学中的例题可以采用学生易错题来讲解，尽量使用教学平台，比如利用智学网上的统计结果，给教与学一个直观建议。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
