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视频标签：平面与空间,余弦定理
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视频课题：人教A版高中数学选修2-2第二章平面与空间中的余弦定理-浙江省 - 金华
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平面与空间中的余弦定理
一、教学目标 1、知识与技能
学生能发现平面三角形与空间四面体几何特征之间的联系，理解平面与空间中的余弦定理，掌握类比的思想和方法.
2、过程与方法
通过特定直角三角形类比到特定特定直四面体，进而能从一般直角三角形类比到一般直四面体，最后将平面余弦定理类比推理得出空间余弦定理.
3、情感态度与价值观
培养学生勤于思考，敢于探究的精神.培养学生用联系发展的观点思考问题. 二、教学重难点
教学重点：平面余弦定理到空间余弦定理的类比推理的思想和方法 教学难点：平面余弦定理到空间余弦定理的类比推理的思想和方法 关键：找到类比对象几何特征之间的关系. 三、学情分析
学生有丰富的想象力，只是四面体的点线面比较多，学生找不到类比的几何特征.在类比推理过程中，计算量大学生会信心不足，但学生会非常感兴趣的去体会探秘的乐趣.
四、教法与学法 以学生为主体，引导学生思考，类比发现问题并类比解决问题，充分调动学生的积极性.引导学生动脑、动手、动口积极探索问题.
五、教学过程
（一）从特殊的直角三角形到特殊的直四面体
师：在ABCRt中，
90A，有2
2
2
345．勾三股四弦五，是我国数学家最先发现的．如果我们过点A作直线 ABCAV平面，且4AV，则
90BACVACVAB． 我们自然会想到的问题是: 在直四面体ABCV中，
是否也有类似勾股定理的数量关系存在?
生:
在四面体ABC
V中，
6VABABCSS，8VACS，
342VBCS． 2
222136VACVABABCVBCSSSS．
师：是的，直角三角形中的三边对应的是直四面体中的四个面！
【教学意图】该设计从一个特殊直角三角形3条边的数值特征出发，启发学生探究一个具体的“直四面体4个面的面积”之间的数值特征，为勾股定理的空间推广作好铺垫．
（二）从一般直角三角形到一般直四面体
师: 对于一般的直角三角形，3条边之间存在平方关系2
2
2
cba ，这是著名的勾股定理．在相应的直四面体中存在类似的关系吗?
师:直角三角形的3条边，对应直四面体中的4个面的面积? 因此直角三角形 3条边的平方关系对应直四面体中的什么关系？
生:2
222VACVABABCVBCSSSS .
师：我们的猜想一定正确吗？
教师打开GeoGebra动画，改变直四面体各棱长，发现这个关系确实存在. 教师板书如下表：
师: 我们可称它为“直四面体的勾股定理”: 在直四面体中，各个侧面积平方和等于其底面积的平方．这是勾股定理从二维空间到三维空间的推广．
师: 从直角三角形的勾股定理到直四面体中的猜想2
222VACVABABCVBCSSSS ，体
现数学中的什么方法? 生: 类比的方法．
【教学意图】由平面内直角三角形的勾股定理 ，类比得到空间直四面体4个面的面积猜想，为进一步推出空间余弦定理埋下了伏笔．
（三）利用图形特征作进行一般化推广
师: 如图，很显然，任意三角形在空间中对应的是任意的空间四面体．在任意△ABC 中有余弦定理:Abccbacos22
2
2
．类比平面三角形的余弦定理，在空间四面体
ABCV中存在什么样的结论呢? 这是今天这节课我们要学习的．平面与空间中的余弦定
理．
师生活动，完成下表：
师: 在余弦定理中，是用2边及其夹角的余弦值来表示第3边的，类比到四面体中，能否用3个面的面积及其二面角的余弦表示第4个面的面积?教师引导学生进行思考、猜想、相互讨论等活动，讨论后展示学生的猜想．
在四面体ABCV中，不 妨 设 二 面 角ABCV，BACV，CABV，
CVBA，BVCA，CVAB的平面角依次为1,2,31,2,3．
猜想1：
3212222coscoscos3VABVACVBCVABVACVBCABCSSSSSSS
猜想2：
1
322222cos2-cos2-cos2VABVBCVABVACVACVBCVABVACVBCABCSSSSSSSSSS【设计意图】抓住三角形余弦定理相应的图形特征，引导学生作一般化推广，将“数”与“形”有机结合，直观地类比到四面体中，获得一系列的猜想，通过提示“再发现”了空间中的余弦定理．
（四）排除错误猜想，记忆正确公式
师: 这些猜想是否都正确? 我们还要进行验证．由于猜想要对任意的四面体都成立，能不能找到一个最特殊的四面体进行验证?
生: 正四面体．（验证过程略．）
师: 也可以用一种“极端”的方法检验猜想．将正四面体ABCV压成平面图形ABC，即点 V与 ABC中 心 O 重 合，此时1,2,3 的大小都为．（验证过程略．） 得到猜想2是正确的，类比余弦定理记忆公式：四面体中任何一个面的面积平方，等于其他3个面的面积平方和减去这3个面中每2个面的面积与它们二面角余弦积的2倍．
【教学意图】通过特殊化、极端化，顺利排除了错误猜想．引导学生类比平面余弦定理的结构特征，得出空间余弦定理的结构特征，有助于空间余弦公式的理解和记忆．
六、总结提高
七、教学反思
（1）学生在进行类比思考的时候，总觉得没有把握，好像是在猜谜．本质的问题是: 学生对于可作类比的两个对象之间的共性或者相似性把握不够清楚，带有很大的随意性．所以，教师应该引导学生关注类比对象元素是怎样对应的，有什么合理性，这样可以最大限度地帮助学生减少类比的盲目性．
（2）通过直观地观察立体几何，学生无法精确认识其中的数学规律，利用GeoGebra测量出各对象的数量，然后通过拖动，在动态变化中进行观察，观察图形中的各种数量关系、探索图形中的不变量，有助于学生概括数学规律和进行理性思考，丰富了学生的感性经验．GeoGebra既有利于发挥学生的想象力、鼓励学生进行数学猜想，又可以迅速、准确地反馈和检验学生的猜想和直觉，加强学生的反思．
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