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视频课题：人教A版高中数学选修3-3《三面角》浙江
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人教A版高中数学选修3-3《三面角》浙江省平阳中学
《三面角》教学设计
一、教材分析
球面上的几何是高中数学选修的重要内容之一,与人类的生产、生活息息相关,尤其在航海、航空、卫星定位等都离不开球面几何的知识;也是培养学生数学学习能力的好素材。类比是学习本专题的重要思想方法。类比欧氏几何的研究问题和研究方法，主要是平面三角形的有关知识，提出球面几何的问题，研究球面上的图形，特别是球面三角形的有关性质。 本专题先从我们所熟知的平面欧氏几何出发，回想平面、直线与球面的位置关系等概念，引出圆幂定理类似的球幂定理。然后从距离和角出发，进入球面几何的学习。球面上的距离是本专题的核心概念，在学习球面上的距离和角的度量方法后，进一步引进球面上的基本图形。
本节内容是人教A版高中数学选修3-3第三讲球面三角形第二课时——三面角。在学习本节课之前，学生已经学习了极与赤道、球面二角形、球面三角形等概念。本节是第三讲的基础，可以进一步研究球面三角形的相关性质，是本章的重点内容；并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是初步培养学生运用三面角模型解决问题的良好题材。
二、教学目标
1.理解三面角的概念，掌握球面三角形与三面角之间的对应，了解三面角的余弦公式。 2.探究、发现三面角余弦公式,并能利用平面欧氏几何知识给予证明,并用公式解决一些简单问题;通过优化问题设计,探究三面角中三个面角与二面角之间的关系,培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。
3.能在具体问题情境中识别三面角图形，并能用相关知识解决相应的问题。
4.通过经历和体验三面角中三个面角与二面角关系的探索过程,体会过程的重要性,并在探索的过程中学会学习、学会探究;同时通过对三面角余弦公式的研究去感受和掌握研究球面三角形的基本思想方法。
三、教学重点、难点k.Com]
学生通过对高中平面欧氏几何的学习,初步具有对数学问题自主探究的意识与能力。高中学生是一个特殊的学习群体，根据皮亚杰关于心理发展的阶段学说,他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段,即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段,高中学生处于形式运算阶段。认知水平从形象向抽象过渡,思维能力的提高是一个转折期;高中学生的自我意识不断增强,好胜心、进取心进一步提高,他们富有激情,感情丰富,爱冲动,爱幻想。高中学生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳的能力,但是学生的抽象思维能力还不是很强,此时学生已掌握了球面三角形概念及其简单应用。教材没有对三面角进行分析与探究,本课的教学设计旨在搭设台阶,降低坡度,引导学生从三面角概念出发,通过观察、分析、归纳、推理来探究其三个面角及三个二面角之间的关系,激发学生自主探究的学习热情,让学生在探究中学会学习、学会合作、学会创造。
综上所述，我把教学重点定为三面角的概念及与球面三角形之间的对应；教学难点定为三面角余弦公式的推导。
四、教学程序
（一）设计思路
[来源:学。科。网]
（二）教学流程
1.复习引入：
一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场。北京与纽约大致都在北纬40°上，如果不考虑其他因素，飞机怎么飞行能够使航程最短？ 生1：过点B,N作球的大圆，劣弧BN是最短航程。
师：飞机沿着大圆从北京向北经极地飞行到达纽约，航程最短。极地有个北极点P，过B,P和P,N分别作两个大圆，三段劣弧构成什么图形？ 众生：球面三角形。
化归思想
球面三角形与三面角相关概念
球面三角形与三面角间的对应
球面三角形边和角的研究转化成三面角中角的研究
三面角余弦公式的推导
球面上余弦定理
课外拓展
课堂小结
P
A
C
BO
A
C
B
O
师：我们怎么度量球面△ABC的三边呢？
生2：过O点连结OA,OB,OC，AB=r∠AOB,BC=r∠BOC，AC=r∠AOC。 师：上式中的角的单位是度数吗？ 生2：不是，是弧度制。
师：我们怎么度量球面△ABC的三内角呢？以∠B为例。
生3：∠B边AB和BC所在大圆的半平面构成一个二面角A-OB-C。用二面角来度量球面角。
2.新知导入
师：无论是度量球面△ABC的边长，还是它的内角，都涉及到一个图形，即从球心O出发的三条线段OA,OB,OC组成的图形。如果延长线段OA,OB,OC,使它们成为射线，那么三条射线构成三个平面（类似三棱锥）。我们把这样的图形称为三面角，记为O-ABC。其中点O称为三面角的顶点，OA,OB,OC称为它的棱，∠AOB,∠BOC,∠AOC称为它的面角。三面角中每相邻两面构成的二面角称为它的二面角，一个三面角有三个二面角。
师生总结： 研究球面△ABC的边长相当于研究三面角O-ABC中的面角；研究球面△ABC的内角相当于研究三面角O-ABC的二面角。
球面△ABC 三面角O-ABC 内角 二面角 边
面角
有了上述的对应关系，球面上边与角的研究就转化为立体几何中角的研究，即我们可以利用三面角的有关知识研究球面三角形。
设计意图：转化与化归的思想方法，它是实现具有相互关联的两个板块进行相互转化的重要依据。
3.课内探究 例1.
已知一个球心为O的单位球面上有A,B,C三点，在三面角O-ABC中，若∠AOB=6
∠BOC=
4，∠AOC=3
，求球面△ABC的内角A。 生4：由弧长公式可得：AC=3,AB=6,BC=4
。
1611
3
62169362cos2
22222
ACABBCACABA,
16
11
arccosA。
生5：生4的解答不合理，平面三角形中的余弦定理，在球面三角形中还适用吗？ 生6：过点A作AC和AB的切线，延长OC，OB与切线交于点D,E。 在RT△OAE中，AE=
3
3,OE=332,在RT△OAD中，OD=2,AD=3,
36
416332223322cos22
2222
DOEOEODOEODDEODE中，在△136
22cos222ADAEDEADAEAADE中，在△。
)13
6
2arccos(A。
设计意图：球面三角形边与角的研究→三面角中角的研究→平面三角形中边和角的研究。
小组探究：
任务：在三面角O-ABC中，若∠AOB=1,∠BOC=, ∠AOC=2,二面角B-OA-C的平面 角为,它们之间是否有一定的关系？
E
D
θ2
θθ1C
BAo
生7：过点A作AC和AB的切线，延长OC，OB与切线交于点D,E。 设OA=1，
在RT△OAE中，AE=1tan,OE=
1cos1,在RT△OAD中，OD=2
cos1
,AD=2tan。 cos2222OEODOEODDEODE中，在△
AD
AEOEODOEODADAEADAEDEADAEADE
2cos22cos2222222
中，在△
2
11
22222tantan2coscos1
cos1222cos2
AD
AEOEODODADOEAE
2
12
1sinsincoscoscos
生8：①中，在△cos2222OEODOEODDEODE
②中，在△cos2222ADAEADAEDEADE
①—②得：cos2cos2202
ADAEOEODOA
21212
2sinsincoscoscoscoscoscos
OE
ODADAEOEODOAADAEOAOEOD 公式辨析：
2
12
1sinsincoscoscoscos
若记二面角C-OB-A为，二面角A-OC-B为，
sinsincoscoscoscos112
，2
2
1sinsincoscoscoscos
三面角中任一二面角的余弦值等于其所对的面角的余弦减去另两个面角的余弦之积，再除以
这两个面角的正弦之积。
旧题新做：
例1：已知一个球心为O的单位球面上有A,B,C三点，在三面角O-ABC中，若∠AOB=6
∠BOC=
4，∠AOC=3
，求球面△ABC的内角A。 13622
3212321223sin6sin3cos6cos4coscos
A 。
o
A
BC
π6
π4
π3
E
D
P
例2：
一架飞机从北京首都国际机场起飞，目的地是美国纽约肯尼迪国际机场.北京位于北纬40°，东经116°，记为（40°，116°）；纽约位于北纬40°，西经74°，记为（40°，-74°）.求飞机从北京飞行到纽约的最短路程是多少？（单位：km,地球半径R≈6400km,精确 到1km).
生9：在三面角O-BPN中，要求BN相当于要求面角∠BON，由三面角余弦公式只要求其余两个面角和二面角B-OP-N的度数，两个面角的度数分别为50°，50°。二面角的度数为190°，不对是170°。
cos170°=(cos∠BON-cos50°cos50°/sin50°sin50°)
cos∠BON≈-0.17,∠BON=arccos(-0.17) BN=R•arccos(-0.17)≈11170km
变形：cossinsincoscoscos2121 公式的正用、逆用、变形用。
4.课外探究
若球的半径为r,球面△ABC的三内角分别为∠A，∠B，∠C，三边长分别为cba,,,则有： 由弧长公式可得：r
brcra21,, 球面上的余弦定理：
Arc
rbrcrbracossinsincoscoscos
Brc
rarcrarbcossinsincoscoscos
Crc
rarcrarccossinsincoscoscos
所以平面三角形的余弦定理在球面三角形中是不成立的。
设计意图：用平面欧氏几何推导球面上的余弦定理。
5.课堂小结
小结：这节课我们介绍了三面角，球面△ABC的三个内角对应于三面角O-ABC的三个二面角，三条边对应于三面角O-ABC的三个面角。
球面△ABC 三面角O-ABC 内角 二面角 边
面角
有了这样的对应关系，球面上边和角的研究就可以转化为立体几何中角的研究，可以用三面角的有关知识研究球面三角形。在球面几何中，三面角是研究问题的一个“脚手架”。
视频来源：优质课网 www.youzhik.com
