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人教A版高中数学必修一2.3.1 幂函数_福建省 - 泉州

视频标签:幂函数

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视频课题:人教A版高中数学必修一2.3.1 幂函数_福建省 - 泉州

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人教A版高中数学必修一2.3.1 幂函数_福建省 - 泉州市幂函数教学设计(晋江一中 林海)

2.3幂函数 教学设计
课程标准:通过实例,了解幂函数的概念;结合函数的图象,了解它们的变化情况.
一、教学目标:
1.了解幂函数的概念,会用描点法画幂函数图象,通过具体实例研究幂函数的图象和性质,并会简单应用.
2.通过对幂函数的学习,使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.
3.通过引导学生主动参与作图、分析图象,培养学生的探索精神,并在研究函数变化的过程中体会事物的量变、质变规律,感受数学的对称美、和谐美.
二、教学重点:通过五个具体的幂函数认识概念,研究性质,体会图象的变化规律.
三、教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.
四、教学用具:实物投影仪等多媒体
五、教学过程:
(一)创设情境
①如果某人购买了每千克1 元的蔬菜w 千克,那么他需要付的钱数p(元)关于购
买的蔬菜量w(千克)的函数解析式为_____________.
②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S 关于a 的函数解析式为___________.
③如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V 关于a 的函数解析式为___________.
④如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a 关于s 的函数解析式为_________.
⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v 关于t 的函数解析式为_________.
问题1.观察这些函数解析式,它们有什么共同的结构特征吗?是指数函数吗?
【设计意图】从特殊到一般,将实际问题转化为数学问题,经历一次发现之旅.
(二)引入新知
幂函数的定义:一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数.
问题2.请同学们举出一些具体的函数.
 
从引例和同学们刚才举的例子中,我们可以发现,幂指数可以是正数、负数,也可以是0.幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数.
(三)探究建构
问题3.研究函数一般包括哪些方面?你准备用什么方法来研究?
 
【设计意图】学生通过类比指、对数函数的研究,提出通过研究函数的图象,从而归纳出函数的奇偶性、单调性等性质.
画图:按照从特殊到一般的原则,我们先来研究五个具有代表意义的幂函数.

请同学们用描点法在平面直角坐标系中画出上述函数的图象.我们在前面的课程中已经研究过了函数的性质,它们的图象已经呈现在坐标纸中了.在作图之前请大家思考,如何画图更加准确快捷.
 
【设计意图】图象是函数的灵魂,能否准确的画出图象是研究性质的前提,也是本节的重点.
问题4:根据图象的特征,填写下面的表格

 
定义域 R R R [0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 R上增 (-∞,0)减 R上增 [0,+∞)增 (-∞,0)减
(0,+∞)增 (0,+∞)减
定点 (1,1)
 
【设计意图】由形到数,发现5个幂函数的性质.
进一步,从这些函数的图象我们可以看到,幂函数随着幂指数的取值不同,它们的性质和图象也存在着差异,请同学们根据图象和表格,寻找这5个幂函数的共性
探究1:图象在4个象限的分布情况及原因?
图象分布情况 代数解释
幂函数在第一象限都存在图象,第四象限不存在  
的图象只出现在第一象限  
的图象出现在一、三象限  
的图象处在在一、二象限  
探究2:幂函数在第一象限的单调性如何?
从特殊到一般:
时,幂函数上是增函数
时,幂函数上是减函数
时,幂函数上是常数函数
 
探究3:4个增函数的图象异同之处?
性质 代数解释
时,的图象在图象的下方,的图象在图象的上方;  
时,的图象在图象的上方,的图象在图象的下方;  

 
【设计意图】问题是思维的“启发剂”,由于幂函数的性质相对比较多,很难一个个找出来,于是设计这几个探究引导学生思考和解决.
 

性质总结如下:
 
【设计意图】创新总结方式,让学生耳目一新,便于记忆.
 
(四)目标检测
1.比较下列各组数的大小:
            ②__________
2.如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图象,已知分别取-1,1,,2四个值,则相应的图象依次为_________________.
 
 
3.函数的图象是                                                  (    )
         
A.       B.       C.      D.
4.研究函数的定义域、奇偶性、单调性并作出它的简图.
 
(五)总结作业
 请学生谈谈通过这节课的学习,对幂函数有哪些认识,学到了哪些数学思想与方法?
  1. 了解了幂函数的概念,以及与指数函数表达式的区别和联系.
  2. 掌握了常见幂函数的图象及性质.
  3. 体会了数形结合、特殊到一般、分类讨论的思想.
通过本节课的学习,相信幂函数已经在大家的头脑中留下十分深刻的印象.最后给大家展示一个数学公式,这是作为基本初等函数的幂函数在高等数学中的应用,用含有阶乘的幂指数是正整数的幂函数形式来表示——泰勒公式.

作业:
1.比较下列各组数的大小
(1)________        (2)________ 
(3)________     (4)_________
2.设,幂函数的图象在的上方,则的取值范围是__________.
3.已知点在幂函数的图象上,点在幂函数的图象上,问当分别取何值时,满足下列条件:
(1)     (2)       (3)
4.函数的图象交点为_______个.
5.证明:函数在R上单调递增.
 
2.3幂函数问题案
班级_________座号__________姓名__________
(一)创设情境
①如果某人购买了每千克1 元的蔬菜w 千克,那么他需要付的钱数p(元)关于购
买的蔬菜量w(千克)的函数解析式为_____________.
②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S 关于a 的函数解析式为___________.
③如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V 关于a 的函数解析式为___________.
④如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a 关于s 的函数解析式为_________.
⑤如果某人t s 内骑车行进了1 km,那么他骑车的速度v 关于t 的函数解析式为_________。
问题1.观察这些函数解析式,它们有什么共同的结构特征吗?是指数函数吗?
(二)引入新知
幂函数的定义:
问题2.请同学们举出一些具体的幂函数.
(三)探究建构
问题3.研究函数一般包括哪些方面?你准备用什么方法来研究?
请在下面的坐标系中作出的图象。
         
         
         
         
 
         
         
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
问题4:根据图象的特征,填写下面的表格
 
定义域          
值域          
奇偶性          
单调性          
   
定点  
 
请同学们根据以上的图象和表格,寻找这5个幂函数的共性
探究1:图象在4个象限的分布情况及原因?
 
 
探究2:幂函数在第一象限的单调性如何?
 
 
 
 
探究3:4个增函数的图象异同之处?
 
 
性质总结如下:
 
 
(四)目标检测
1.比较下列各组数的大小:
   ②________ 
2.如图所示,曲线是幂函数在第一象限内的图象,已知分别取-1,1,,2四个值,则相应的图象依次为_________________.
3.函数的图象是                                                  (    )
         
A.       B.       C.      D.
   
4.研究函数的定义域、奇偶性、单调性并作出它的简图。
 
 
 
 
(五)总结作业
请你谈谈通过这节课的学习,对幂函数有哪些认识,学到了哪些数学思想与方法?
 
 
作业:
1.比较下列各组数的大小
(1)________        (2)________ 
(3)________     (4)_________
2.设,幂函数的图象在的上方,则的取值范围是__________.
3.已知点在幂函数的图象上,点在幂函数的图象上,问当分别取何值时,满足下列条件:
(1)     (2)       (3)
4.函数的图象交点为_______个.
5.证明:函数在R上单调递增。
 

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