新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

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新教材人教A版高中数学必修第二册（省优质课）6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
【内容和内容解析】
1.内容
平面向量数乘运算的坐标表示、共线向量的坐标表示.

内容解析

本节内容选自《普通高中课程标准数学教科书》（人教A版）必修第二册第六章《平面向量及其应用》第三节的第三课时.是继平面向量加、减运算的坐标表示之后的又一重要内容，实现了将向量的线性运算转化为坐标运算，为继续研究平面向量数量积的坐标运算指明了方向，同时为进一步把向量共线的条件转化为坐标表示奠定了基础.
本节课的学习蕴含着丰富的数学思想，如数形结合、分类讨论的数学思想，平面向量共线的坐标表示的推导过程还有助于培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养.
基于以上分析，可以确定本节课的教学重点：平面向量数乘运算的坐标表示，根据向量的坐标，判断向量是否共线.
【目标和目标解析】
1.目标
（1）掌握平面向量数乘运算的坐标表示；
（2）能用坐标表示的平面向量的数乘运算解释向量共线的条件，会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：

经历共线向量坐标表示的推导过程，感受数学运算方法的选取，体会数学表达的严谨性.
通过对共线向量坐标关系的探究，理解数学内容之间的内在联系,提高分析问题、解决问题的能力。

【教学问题诊断分析】
本节课之前学生已经学习了平面向量的坐标表示、平面向量加、减运算的坐标表示及共线向量定理，为本节课的学习奠定了知识基础，但，学生对共线向量坐标表达式的化简存在困难，共线向量坐标表达式书写形式的理解，也对学生有一定难度，利用平面向量数乘运算的坐标表示探索线段中点坐标公式、定比分点坐标公式时，渗透着分类讨论的数学思想，而学生往往会出现讨论不全、思虑不周等思维障碍.由此可以确定本节课的教学难点：共线向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
共线向量坐标表示的推导过程的教学，对学生逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养的培养至关重要.为克服以上教学难点，教学过程中并不是直接告诉学生如何化简，而是先由学生动手操作，再提出质疑，产生冲突，讨论交流，寻求解决办法，引导学生经历操作、思考、讨论、交流等数学思维活动.在三点共线的应用过程中，引导学生经历猜想——验证——归纳——应用的过程，体会研究数学问题的基本方法.
【教学支持条件分析】
在三点共线的探索过程中，借助信息技术直观演示，引导学生大胆猜想，体会数形结合的数学思想和先大胆猜想再小心求证的治学方法.
【教学过程设计】

教学流程	教师活动	学生活动	设计意图
（一）复习引入，温故知新	复习回顾，温故知新 1.共线向量定理:存在唯一实数，使得 2.平面向量的坐标表示： 1).记作； 2).若，则 3.平面向量的加、减坐标运算：已知，则	回顾复习	通过复习上节所学知识，建立知识间的联系，引入本节新课，感受类比迁移的学习方式.
（二）问题诱导，探究新知	问题1：已知，你能得到的坐标吗？分析：因为，所以即. 结论：实数与向量的积的坐标等用这个实数乘以原来向量的相应坐标. 练习：已知，求的坐标。解：	师生合作	以问题为诱导，探究新知，培养学生逻辑推理的核心素. 体会符号语言与文字语言的相互转化.

（三）合作探究，发现规律	探究：如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 问题2：如果向量共线，则满足什么关系？问题3：已知，则向量的等价条件又怎样呢？分析：向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为即（想一想：下面怎样化简？） ①②得结论：向量共线的充要条件是。思考：向量共线的充要条件的两种形式进行比较。	动手演算思考交流	通过探究，掌握共线向量的坐标之间的关系，提高学生的分析、概括能力. 在学生动手演算的过程中培养数学运算的核心素养. 思考的设置引导学生从几何与代数两个角度对共线向量定理进行解释.
	练习：已知解：因为，解得例4：已知判断A，B，C三点之间的关系。解：猜想A，B，C三点共线。因为，，又所以，又直线AB，直线AC有公共点A，所以，A，B，C三点共线。	讨论交流推理证明	练习的设置既巩固了向量共线的坐标表示，也为接下来三点共线的判定奠定了基础. 例4引导学生经历猜想——验证——归纳——应用的过程，体会研究数学问题的基本方法.
（四）典例分析，学以致用	例5：设点P是线段P₁P₂上的一点，点P₁，P₂的坐标分别为. (1)当P是线段P₁P₂的中点时，求点P的坐标； (2)当P是线段P₁P₂的一个三等分点时，求点P的坐标。解：（1）由向量的线性运算可知，所以，点P的坐标是结论：中点坐标公式若点P₁，P₂的坐标分别为，线段P₁P₂的中点P的坐标为，则当点P是线段的一个三等分点时,有两种情况，即或.如果，那么，即点P的坐标是同理，当时，即点P的坐标是探究：如图，线段P₁P₂的端点P₁，P₂的坐标分别为，点P是直线P₁P₂上的一点，当时，点P的坐标是什么？【答案】	讨论交流师生合作归纳总结形成规律	例5巩固本节所学知识，渗透方程的数学思想. 通过探究得出一般结论，体会从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程.

（五）总结整理，提高认识	本节课你学习了哪些知识？又掌握了哪些思想方法？	回顾小结	从知识要点和思想方法两方面对课堂教学进行小结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力.
（六）布置作业	巩固作业：练习1,2,3 拓展作业：习题6.3 3,4	课后巩固	布置作业，巩固所学知识。

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（三）合作探究，发现规律	探究：如何用坐标表示向量平行(共线)的等价条件? 问题2：如果向量共线，则满足什么关系？问题3：已知，则向量的等价条件又怎样呢？分析：向量共线的充要条件是存在实数，使，用坐标表示为即（想一想：下面怎样化简？） ①②得结论：向量共线的充要条件是。思考：向量共线的充要条件的两种形式进行比较。	动手演算思考交流	通过探究，掌握共线向量的坐标之间的关系，提高学生的分析、概括能力. 在学生动手演算的过程中培养数学运算的核心素养. 思考的设置引导学生从几何与代数两个角度对共线向量定理进行解释.
	练习：已知解：因为，解得例4：已知判断A，B，C三点之间的关系。解：猜想A，B，C三点共线。因为，，又所以，又直线AB，直线AC有公共点A，所以，A，B，C三点共线。	讨论交流推理证明	练习的设置既巩固了向量共线的坐标表示，也为接下来三点共线的判定奠定了基础. 例4引导学生经历猜想——验证——归纳——应用的过程，体会研究数学问题的基本方法.
（四）典例分析，学以致用	例5：设点P是线段P₁P₂上的一点，点P₁，P₂的坐标分别为. (1)当P是线段P₁P₂的中点时，求点P的坐标； (2)当P是线段P₁P₂的一个三等分点时，求点P的坐标。解：（1）由向量的线性运算可知，所以，点P的坐标是结论：中点坐标公式若点P₁，P₂的坐标分别为，线段P₁P₂的中点P的坐标为，则当点P是线段的一个三等分点时,有两种情况，即或.如果，那么，即点P的坐标是同理，当时，即点P的坐标是探究：如图，线段P₁P₂的端点P₁，P₂的坐标分别为，点P是直线P₁P₂上的一点，当时，点P的坐标是什么？【答案】	讨论交流师生合作归纳总结形成规律	例5巩固本节所学知识，渗透方程的数学思想. 通过探究得出一般结论，体会从特殊到一般，从具体到抽象的思维过程.