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高中数学人教A版《数系的扩充和复数的概念》郑州实验

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视频课题:高中数学人教A版《数系的扩充和复数的概念》郑州实验

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高中数学人教A版《数系的扩充和复数的概念》郑州市实验高级中学

《数域的扩充和复数的引入》教学设计 

一、教学目标 知识与技能: 
1. 了解数系发展原因,数集的扩展过程; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 过程与方法: 
经历了数系的扩充过程,体验了复数引入的必要,探究了复数相等的概念,领悟了类比的思想方法. 情感态度与价值观: 
在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求;在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. 二、教学重难点: 
重点:对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念 难点:虚数单位的引入以及复数概念的生成. 三、教学过程 (一)数系扩充 1.情景激趣 
数字的由来:人类在社会发展中,逐步学会了以对应的方法来计算事物的个数,如“屈指”计数,“结绳”计数,“堆石子”计数等。经过长期的实践,把表示事物的个数:“一个”、“二个”、“三个”,„„;或把表示事物的次序:“第一”、“第二”、“第三”,„„抽象出来的数1,2,3,4,„„,叫
                    
             
                    
                            做自然数。 
问题:你了解"数"的发展史吗?请你回顾从小学到现在数是如何一步一步发展到今天的实数集合的。数的发展从自然数集到整数集,再到有理数集,最后发展到实数集,那么数集扩充到实数集之后,是不是所有的方程都有解了呢? 我们可以用下面一组方程来形象的说明数系的发展变化过程: (1)在自然数集中求方程 𝑥+1=0的解? (2)在整数集中求方程 2𝑥+1=0的解? (3)在有理数集中求方程 𝑥2−2=0的解? (4)在实数集中求方程 𝑥2+1=0的解?   
思考:在实数域内方程012x无解,那么扩充数域以后,有解吗? 【设计意图】以数字由来作为情境,结合从小学到现在的数学知识背景,既可以使学生了解数学的发展史,又能让学生全身心投入课堂,从而激发学生的学习热情。感悟知识的发生、发展过程。 (二)新知建构 
知识建构一:虚数单位及规定 
我们引入一个新数i,叫做虚数单位,并规定:21i. 知识建构二:复数的有关概念 
1.复数的定义:形如(,)abiabR的数,我们称之为复数. 
2.复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即(,)zabiabR.其中a称为复数z的实部,b称为复数z的虚部. 练习:说出下列复数的实部和虚部: 
,
0iiii,3,2,3
1
2,22 
                    
             
                    
                            阅读:复数系是怎样建立的? 
【设计意图】通过习题和阅读材料深化概念,巩固复数的代数形式。 知识建构三:复数的分类 



0,0非纯虚数0,0纯虚数0虚数0,0实数0非0,0,00实数,,复数bababbababRbabiaz    
思考:复数集C和实数集R之间是什么关系?  
练一练: 
1.说明下列数中,那些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部. 2.判断: 
(1)若𝑎=0,则𝑧=𝑎+𝑏𝑖 (𝑎 ∈ 𝑅、𝑏 ∈ 𝑅)为纯虚数. (2)若𝒛=𝒂+𝒃𝒊 (𝒂 ∈ 𝑹、𝒃 ∈ 𝑹)为纯虚数,则𝒂=𝟎. 
结论:故𝑎=0是𝑧=𝑎+𝑏𝑖 (𝑎 ∈ 𝑅、𝑏 ∈ 𝑅)为纯虚数的必要不充分条件. 
【设计意图】巩固复数的分类,熟练掌握实部、虚部对于复数的影响,深化对复数的认识。 
知识建构四:复数相等的概念 
复数集 
实数集 
虚数集 
纯虚数集 
CR    
 
                    
             
                    
                            如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即(,,,)ab
abicdiabcdRcd

 说一说: 
(1)若𝟐−𝟑𝒊=𝒂−𝟑𝒊,求实数𝒂的值; (2)若𝟖+𝟓𝒊=𝟖+𝒃𝒊,求实数𝒃的值; (3)若𝟒+𝒃𝒊=𝒂−𝟐𝒊,求实数𝒂,𝒃的值 
【设计意图】通过习题以口答的方式深化复数相等的概念,为后面培养转化思想做准备。 (三)学以致用 
例1 下列命题中,正确命题的个数是____ (1)若𝑥,𝑦∈𝐶则𝑥+𝑦𝑖=1+𝑖的充要条件是𝑥=𝑦=1; (2)若𝑎,𝑏∈𝑅且𝑎>𝑏,则𝑎+i>𝑏+𝑖; (3)若𝑥^2+𝑦^2=0,则𝑥=𝑦=0; (4)若𝑎∈𝑅,则(a+1)i为纯虚数. 
【设计意图】引导学生由所学知识解决问题,提高分析问题能力,激发其学习欲望。 
例2:实数𝑚取什么值时,复数𝑧=𝑚+1+ 𝑚−1 𝑖 是(1)实数?  (2)虚数? (3)纯虚数? 
例3:求适合方程2𝑥2−5𝑥+3+ 𝑦2+𝑦−6 𝑖=0的𝑥与𝑦(𝑥,𝑦∈𝑅)的值 【设计意图】培养学生将复数相等问题转化为求方程组解的问题的能力,进一步深化学生转化的数学思想。 
 
                    
             
                    
                            (四)探索发现 
探究复数的虚数单位𝑖的性质:i𝑛可以取哪些值?答:
𝑖𝑛= 
𝑖,  𝑛=4𝑘+1−1,  𝑛=4𝑘+2
−𝑖,  𝑛=4𝑘+31,  𝑛=4𝑘
 
性质1:𝑖𝑛具有周期性. 
性质2:𝑖𝑛+𝑖𝑛+1+𝑖𝑛+2+𝑖𝑛+3=0 例4:计算𝒊+𝒊𝟐+𝒊𝟑+⋯+𝒊𝟐𝟎𝟏𝟕的值. 
【设计意图】进一步深化学生对于虚数单位的理解,培养学生灵活运用虚数单位进行计算的能力。 (五)知识梳理 
【设计意图】通过课堂小结,深化对知识理解,建立知识结构和体系;培养学生学后反思的习惯和归纳总结能力 (六)布置作业 
必做:1、《成才之路》P189-P190       2、预习《复数的几何意义》 
选做:若方程𝑥2+ 𝑚+2𝑖 𝑥+ 2+𝑚𝑖 =0至少有一个实数根,求𝑚的值.  板书设计: 
数系的扩充与复数的引入 
一.虚数的引入: 二.复数的概念: 三.复数的分类 四.复数相等  
教师辅助区   
学生演板区 
 
                    
             
                    
                           

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